Indhold
I matematik opstår behovet undertiden for at bevise, om funktioner er afhængige eller uafhængige af hinanden i en lineær forstand. Hvis du har to funktioner, der er lineære afhængige, resulterer grafering af ligningerne for disse funktioner i punkter, der overlapper hinanden. Funktioner med uafhængige ligninger overlapper ikke, når de tegnes. En metode til at bestemme, om funktioner er afhængige eller uafhængige, er at beregne Wronskian for funktionerne.
Hvad er en Wronskian?
Wronskian med to eller flere funktioner er det, der er kendt som en determinant, som er en speciel funktion, der bruges til at sammenligne matematiske objekter og bevise visse fakta om dem. I tilfælde af Wronskian bruges determinanten til at bevise afhængighed eller uafhængighed mellem to eller flere lineære funktioner.
Den Wronskian Matrix
For at beregne Wronskian for lineære funktioner skal funktionerne løses for den samme værdi inden for en matrix, der indeholder både funktionerne og deres derivater. Et eksempel på dette er W (f, g) (t) = | ff((tt)) gg((tt)) |, som giver Wronskian til to funktioner (f og g), der løses for en enkelt værdi, der er større end nul (t); Du kan se de to funktioner f (t) og g (t) i den øverste række af matrixen og derivaterne f (t) og g (t) i den nederste række. Bemærk, at Wronskian også kan bruges til større sæt. Hvis du for eksempel tester tre funktioner med en Wronskian, kan du muligvis udfylde en matrix med funktionerne og derivaterne af f (t), g (t) og h (t).
Løsning af Wronskian
Når du først har funktionerne arrangeret i en matrix, skal du krydse multiplicere hver funktion mod derivatet fra den anden funktion og trække den første værdi fra den anden. For eksemplet ovenfor giver dette dig W (f, g) (t) = f (t) g (t) - g (t) f (t). Hvis det endelige svar er lig med nul, viser dette, at de to funktioner er afhængige. Hvis svaret er noget andet end nul, er funktionerne uafhængige.
Wronskian-eksempel
For at give dig en bedre idé om, hvordan dette fungerer, antager du, at f (t) = x + 3 og g (t) = x - 2. Ved hjælp af en værdi på t = 1 kan du løse funktionerne som f (1) = 4 og g (1) = -1. Da dette er basale lineære funktioner med en hældning på 1, er derivaterne af både f (t) og g (t) lige 1. Krydsmultiplikering af dine værdier giver W (f, g) (1) = (4 + 1) - (-1 + 1), der giver et slutresultat på 5. Selvom de lineære funktioner begge har den samme hældning, er de uafhængige, fordi deres punkter for ikke overlapper hinanden. Hvis f (t) havde produceret et resultat af -1 i stedet for 4, ville Wronskianen have givet et resultat af nul i stedet for at indikere afhængighed.