Indhold
De tre metoder, der oftest bruges til at løse ligningssystemer, er substitution, eliminering og augmented matrix. Substitution og eliminering er enkle metoder, der effektivt kan løse de fleste systemer med to ligninger i et par lige trin. Metoden til forstærket matrix kræver flere trin, men dens anvendelse strækker sig til en større række systemer.
Udskiftning
Substitution er en metode til løsning af ligningssystemer ved at fjerne alle undtagen en af variablerne i en af ligningerne og derefter løse den ligning. Dette opnås ved at isolere den anden variabel i en ligning og derefter erstatte værdier med disse variabler i en anden anden ligning. For at løse systemet med ligninger x + y = 4, 2x - 3y = 3 skal du for eksempel isolere variablen x i den første ligning for at få x = 4 - y, og derefter erstatte denne værdi af y i den anden ligning for at få 2 (4 - y) - 3y = 3. Denne ligning forenkles til -5y = -5, eller y = 1. Sæt denne værdi i den anden ligning for at finde værdien af x: x + 1 = 4 eller x = 3.
Elimination
Eliminering er en anden måde at løse ligningssystemer ved at omskrive en af ligningerne med kun en variabel. Elimineringsmetoden opnår dette ved at tilføje eller trække ligninger fra hinanden for at annullere en af variablerne. F.eks. Giver tilføjelse af ligningerne x + 2y = 3 og 2x - 2y = 3 en ny ligning, 3x = 6 (bemærk at y-udtrykkene er annulleret). Systemet løses derefter ved hjælp af de samme metoder som til substitution. Hvis det er umuligt at annullere variablerne i ligningerne, vil det være nødvendigt at multiplicere hele ligningen med en faktor for at få koefficienterne til at stemme overens.
Forstørret matrix
Forøgede matrixer kan også bruges til at løse ligningssystemer. Den forstørrede matrix består af rækker for hver ligning, søjler for hver variabel og en forstærket søjle, der indeholder den konstante udtryk på den anden side af ligningen. For eksempel er den forstærkede matrix for systemet med ligninger 2x + y = 4, 2x - y = 0, ...].
Bestemmelse af løsningen
Det næste trin involverer anvendelse af elementære rækkefunktioner, såsom at multiplicere eller dele en række med en konstant, der ikke er nul, og tilføje eller trække rækker. Målet med disse operationer er at konvertere matrixen til række-echelon-form, hvor den første post, der ikke er nul i hver række, er en 1, poster over og under denne post er alle nuller, og den første post, der ikke er nul for hver række er altid til højre for alle sådanne poster i rækkerne over den. Række-echelon form for ovennævnte matrix er, ...]. Værdien af den første variabel er angivet af den første række (1x + 0y = 1 eller x = 1). Værdien af den anden variabel er angivet af den anden række (0x + 1y = 2 eller y = 2).
Applikationer
Substitution og eliminering er enklere metoder til at løse ligninger og bruges meget hyppigere end forøgede matrixer i grundlæggende algebra. Substitutionsmetoden er især nyttig, når en af variablerne allerede er isoleret i en af ligningerne. Elimineringsmetoden er nyttig, når koefficienten for en af variablerne er den samme (eller dens negative ækvivalent) i alle ligningerne. Den primære fordel ved forstærkede matrixer er, at den kan bruges til at løse systemer med tre eller flere ligninger i situationer, hvor substitution og eliminering enten er umulig eller umulig.