Indhold
Kvadratiske ligninger danner en parabol, når de er tegnet i graf. Parabolen kan åbne opad eller nedad, og den kan skifte op eller ned eller vandret, afhængigt af konstanterne i ligningen, når du skriver den i formen y = aks kvadrat + bx + c. Variablerne y og x er tegnet på y- og x-akserne, og a, b og c er konstanter. Afhængig af hvor høj parabolen er placeret på y-aksen, kan en ligning have nul, et eller to x-afskæringer, men det vil altid have et y-afsnit.
Kontroller, at din ligning er en kvadratisk ligning ved at skrive den i formen y = aks kvadrat + bx + c, hvor a, b og c er konstanter, og a ikke er lig med nul. Find y-skærmbilledet for ligningen ved at lade x være nul. Ligningen bliver y = 0x kvadrat + 0x + c eller y = c. Bemærk, at y-skæringen af en kvadratisk ligning skrevet i formen y = aksekvadrat + bx = c altid vil være konstanten c.
For at finde x-afskærmningen af en kvadratisk ligning, lad y = 0. Skriv den nye ligning økset kvadrat + bx + c = 0 og den kvadratiske formel, der giver løsningen som x = -b plus eller minus kvadratroden af ( b firkantet - 4ac), alle divideret med 2a. Den kvadratiske formel kan give nul, en eller to løsninger.
Løs ligningen 2x kvadrat - 8x + 7 = 0 for at finde to x-skæringer. Placer konstanterne i den kvadratiske formel for at få - (- 8) plus eller minus kvadratroten af (-8 kvadrat - 4 gange 2 gange 7), alle divideret med 2 gange 2. Beregn værdierne for at få 8 +/- kvadrat rod (64 - 56), alle divideret med 4. Forenkle beregningen for at få (8 +/- 2.8) / 4. Beregn svaret som 2,7 eller 1,3. Bemærk, at dette repræsenterer parabolen, der krydser x-aksen ved x = 1,3, da den falder til et minimum og derefter krydses igen ved x = 2,7, når den øges.
Undersøg den kvadratiske formel, og bemærk, at der er to løsninger på grund af udtrykket under kvadratroten. Løs ligningen x kvadrat + 2x +1 = 0 for at finde x-skæringerne. Beregn udtrykket under kvadratroten af den kvadratiske formel, kvadratroten af 2 kvadrat - 4 gange 1 gange 1, for at få nul. Beregn resten af den kvadratiske formel for at få -2/2 = -1, og bemærk, at hvis udtrykket under kvadratroden af den kvadratiske formel er nul, har den kvadratiske ligning kun en x-afskæring, hvor parabolen bare berører x-aksen.
Bemærk fra den kvadratiske formel, at hvis udtrykket under kvadratroten er negativt, har formlen ingen løsning, og den tilsvarende kvadratiske ligning har ingen x-afskæringer. Forøg c, i ligningen fra det forrige eksempel, til 2. Løs ligningen 2x kvadrat + x + 2 = 0 for at få x-skæringerne. Brug den kvadratiske formel til at få -2 +/- kvadratrod af (2 kvadrat - 4 gange 1 gange 2), alle divideret med 2 gange 1. Forenkle for at få -2 +/- kvadratrod af (-4), alle divideret ved 2. Bemærk, at kvadratroten af -4 ikke har nogen reel løsning, og derfor viser den kvadratiske formel, at der ikke er nogen x-skæringer. Grafisk parabolen for at se, at stigende c har hævet parabolen over x-aksen, så parabolen ikke længere berører eller skærer den.