Indhold
- Løsning af et ligningssystem ved substitution
- Tips
- Løsning af et ligningssystem ved eliminering
- Løsning af et ligningssystem ved grafering
At løse et system af samtidige ligninger virker som en meget skræmmende opgave i starten. Med mere end en ukendt mængde at finde værdien for og tilsyneladende meget lille måde at adskille en variabel fra en anden, kan det være en hovedpine for folk, der er nye i algebra. Der er dog tre forskellige metoder til at finde løsningen på ligningen, hvor to afhænger mere af algebra og er lidt mere pålidelige, og den anden gør systemet til en række linjer på en graf.
Løsning af et ligningssystem ved substitution
Løs et system af samtidige ligninger ved substitution ved først at udtrykke den ene variabel i form af den anden. Brug af disse ligninger som et eksempel:
x – y = 5
3_x_ + 2_y_ = 5
Arranger den enkleste ligning at arbejde med, og brug denne til at indsætte i den anden. I dette tilfælde tilføjer y til begge sider af den første ligning giver:
x = y + 5
Brug udtrykket til x i den anden ligning for at producere en ligning med en enkelt variabel. I eksemplet gør dette den anden ligning:
3 × (y + 5) + 2_y_ = 5
3_y_ + 15 + 2_y_ = 5
Saml lignende vilkår for at få:
5_y_ + 15 = 5
Omarrangere og løse for y, der starter med at trække 15 fra begge sider:
5_y_ = 5 - 15 = −10
Ved at dele begge sider med 5 giver:
y = −10 ÷ 5 = −2
Så y = −2.
Indsæt dette resultat i begge ligninger for at løse for den resterende variabel. I slutningen af trin 1 fandt du, at:
x = y + 5
Brug den værdi, du har fundet for y at få:
x = −2 + 5 = 3
Så x = 3 og y = −2.
Tips
Løsning af et ligningssystem ved eliminering
Se på dine ligninger for at finde en variabel, der skal fjernes:
x – y = 5
3_x_ + 2_y_ = 5
I eksemplet kan du se, at en ligning har -y og den anden har + 2_y_. Hvis du tilføjer to gange den første ligning til den anden, the y vilkår vil annullere og y ville blive fjernet. I andre tilfælde (f.eks. Hvis du ville eliminere x), kan du også trække et multiplum af den ene ligning fra den anden.
Multiplicer den første ligning med to for at forberede den til eliminationsmetoden:
2 × (x – y) = 2 × 5
Så
2_x_ - 2_y_ = 10
Fjern din valgte variabel ved at tilføje eller trække den ene ligning fra den anden. I eksemplet tilføj den nye version af den første ligning til den anden ligning for at få:
3_x_ + 2_y_ + (2_x_ - 2_y_) = 5 + 10
3_x_ + 2_x_ + 2_y_ - 2_y_ = 15
Så dette betyder:
5_x_ = 15
Løs for den resterende variabel. I eksemplet skal du dele begge sider med 5 for at få:
x = 15 ÷ 5 = 3
Som før.
Ligesom i den foregående tilgang, når du har en variabel, kan du indsætte dette i begge udtryk og arrangere igen for at finde den anden. Brug af den anden ligning:
3_x_ + 2_y_ = 5
Så siden x = 3:
3 × 3 + 2_y_ = 5
9 + 2_y_ = 5
Træk 9 fra begge sider for at få:
2_y_ = 5 - 9 = −4
Til sidst deles med to for at få:
y = −4 ÷ 2 = −2
Løsning af et ligningssystem ved grafering
Løs systemer af ligninger med minimal algebra ved at tegne hver ligning og kigge efter x og y værdi, hvor linjerne krydser hinanden. Konverter hver ligning til form for hældningsafskærmning (y = mx + b) først.
Det første eksempel ligning er:
x – y = 5
Dette kan let konverteres. Tilføje y til begge sider og træk derefter 5 fra begge sider for at få:
y = x – 5
Som har en hældning på m = 1 og a y-afskærmning af b = −5.
Den anden ligning er:
3_x_ + 2_y_ = 5
Træk 3_x_ fra begge sider for at få:
2_y_ = −3_x_ + 5
Del derefter med 2 for at få formen til hældningsafskærmning:
y = −3_x_ / 2 + 5/2
Så dette har en hældning på m = -3/2 og a y-afskærmning af b = 5/2.
Brug y opfang værdier og skråninger for at plotte begge linjer på en graf. Den første ligning krydser y akse ved y = −5, og y værdien stiger med 1 hver gang x værdien øges med 1. Dette gør linjen let at tegne.
Den anden ligning krydser y akse ved 5/2 = 2,5. Det skråner nedad, og y værdien falder med 1,5 hver gang x værdien stiger med 1. Du kan beregne y værdi for ethvert punkt på x akse ved hjælp af ligningen, hvis det er lettere.
Find det punkt, hvor linjerne krydser hinanden. Dette giver dig begge x og y koordinater for løsningen på ligningssystemet.