Indhold
- TL; DR (for lang; læste ikke)
- Samhørighedsidentiteter i grader:
- Cofunction identiteter i radianer
- Cofunction Identities Proof
- Cofunction Calculator
Har du nogensinde spekuleret på, hvordan trigonometriske funktioner som sinus og kosinus hænger sammen? De er begge brugt til beregning af sider og vinkler i trekanter, men forholdet går længere end det. Cofunction identiteter give os specifikke formler, der viser, hvordan man konverterer mellem sinus og cosinus, tangent og cotangent og secant og cosecant.
TL; DR (for lang; læste ikke)
En vinkels sinus er lig med kosinus af dens komplement og vice versa. Dette gælder også for andre medfunktioner.
En nem måde at huske, hvilke funktioner der er medfunktioner, er at to trig-funktioner er cofunctions hvis en af dem har "co-" præfikset foran sig. Så:
Vi kan beregne frem og tilbage mellem medfunktioner ved hjælp af denne definition: Værdien af en funktion af en vinkel er lig med værdien af medfunktionen af komplementet.
Det lyder kompliceret, men i stedet for at tale om værdien af en funktion generelt kan vi bruge et specifikt eksempel. Det sinus af en vinkel er lig med cosinus af dens komplement. Og det samme gælder for andre medfunktioner: En vinkels tangens er lig med dens komplement.
Husk: To vinkler er supplerer hvis de tilføjer op til 90 grader.
Samhørighedsidentiteter i grader:
(Bemærk, at 90 ° - x giver os et vinkeltilskud.)
sin (x) = cos (90 ° - x)
cos (x) = sin (90 ° - x)
tan (x) = barneseng (90 ° - x)
barneseng (x) = solbrun (90 ° - x)
sek (x) = csc (90 ° - x)
csc (x) = sek (90 ° - x)
Cofunction identiteter i radianer
Husk, at vi også kan skrive ting i form af radianer, som er SI-enheden til måling af vinkler. Halvfems grader er det samme som π / 2 radianer, så vi kan også skrive cofunktionsidentiteter som denne:
sin (x) = cos (π / 2 - x)
cos (x) = sin (π / 2 - x)
tan (x) = barneseng (π / 2 - x)
barneseng (x) = solbrun (π / 2 - x)
sek (x) = csc (π / 2 - x)
csc (x) = sek (π / 2 - x)
Cofunction Identities Proof
Alt dette lyder godt, men hvordan kan vi bevise, at dette er sandt? Hvis du tester det selv på et par eksempler af trekanter, kan du hjælpe dig med at føle dig selvsikker på det, men der er også et mere streng algebraisk bevis. Lader bevise samfundsfunktioner for sinus og kosinus. Skal arbejde i radianer, men det er det samme som at bruge grader.
Bevis: sin (x) = cos (π / 2 - x)
Først og fremmest, nå langt tilbage i din hukommelse til denne formel, fordi vi ville bruge den til vores bevis:
cos (A - B) = cos (A) cos (B) + sin (A) sin (B)
Forstået? OKAY. Lad os nu bevise: sin (x) = cos (π / 2 - x).
Vi kan omskrive cos (π / 2 - x) som dette:
cos (π / 2 - x) = cos (π / 2) cos (x) + sin (π / 2) sin (x)
cos (π / 2 - x) = 0 cos (x) + 1 sin (x), fordi vi kender cos (π / 2) = 0 og sin (π / 2) = 1.
cos (π / 2 - x) = sin (x).
Ta-da! Lad os nu bevise det med kosinus!
Bevis: cos (x) = sin (π / 2 - x)
En anden eksplosion fra fortiden: Husker du denne formel?
sin (A - B) = sin (A) cos (B) - cos (A) sin (B).
Var ved at bruge det. Lad os nu bevise: cos (x) = sin (π / 2 - x).
Vi kan omskrive synd (π / 2 - x) på denne måde:
sin (π / 2 - x) = sin (π / 2) cos (x) - cos (π / 2) sin (x)
sin (π / 2 - x) = 1 cos (x) - 0 sin (x), fordi vi kender sin (π / 2) = 1 og cos (π / 2) = 0.
sin (π / 2 - x) = cos (x).
Cofunction Calculator
Prøv et par eksempler, der arbejder med medfunktioner på egen hånd. Men hvis du sidder fast, har Math Celebrity en cofunktionsberegner, der viser trin-for-trin-løsninger til cofunktionsproblemer.
Glad beregning!