Fraktionelle eksponenter: Regler for multiplikation og opdeling

Indhold

• TL; DR (for lang; læste ikke)
• Hvad er fraktionelle eksponenter?
• Regler for fraktionsexponent: Multiplicering af fraktionelle eksponenter med den samme base
• Regel for fraktionsexponent: Opdeling af fraktionelle eksponenter med samme base
• Multiplikation og opdeling af fraktionelle eksponenter i forskellige baser

At lære at håndtere eksponenter er en integreret del af enhver matematikundervisning, men heldigvis stemmer reglerne for at multiplicere og dele dem overens med reglerne for ikke-brøkdelede eksponenter. Det første skridt til at forstå, hvordan man håndterer brøkdeleksponenter, er at få en gennemgang af, hvad de er nøjagtigt, og så kan du se på måderne, du kan kombinere eksponenter på, når de multipliceres eller deles, og de har samme base. Kort sagt tilføjer du eksponenterne, når du multiplicerer og trækker den ene fra den anden, når du deler, forudsat at de har den samme base.

TL; DR (for lang; læste ikke)

Multiplicer termer med eksponenter ved hjælp af den generelle regel:

x^-en + x^b = x^{(-en + b)}

Og divider termer med eksponenter, der bruger reglen:

x^-en ÷ x^b = x^{(-en – b)}

Disse regler fungerer med ethvert udtryk i stedet for -en og b, selv fraktioner.

Hvad er fraktionelle eksponenter?

Fraktionelle eksponenter tilvejebringer en kompakt og nyttig måde at udtrykke firkanter, terninger og højere rødder på. Nævneren på eksponenten fortæller dig, hvilken rod af "basis" -nummeret udtrykket repræsenterer. I et udtryk som x^-en, du ringer x basen og -en eksponenten. Så en fraktioneret eksponent fortæller dig:

x^1/2 = √x

Nævneren af ​​to på eksponenten fortæller dig, at du tager kvadratroden af x i dette udtryk. Den samme grundlæggende regel gælder for højere rødder:

x^1/3 = ∛x

Og

x^1/4 = ⁴√ x

Dette mønster fortsætter. For et konkret eksempel:

9^1/2 = √9 = 3

Og

8^1/3 = ∛8 = 2

Regler for fraktionsexponent: Multiplicering af fraktionelle eksponenter med den samme base

Multiplicer termer med fraktionerede eksponenter (forudsat at de har den samme base) ved at tilføje eksponenterne sammen. For eksempel:

x^1/3 × x^1/3 × x^1/3 = x ^{(1/3 + 1/3 + 1/3)}

= x¹ = x

Siden x^1/3 betyder "terningen rod af x, ”Giver det perfekt mening, at dette ganget med sig selv to gange giver resultatet x. Du kan også løbe ind i eksempler som x^1/3 × x^1/3, men du behandler disse på nøjagtig samme måde:

x^1/3 × x^1/3 = x ^{(1/3 + 1/3)}

= x^2/3

Det faktum, at udtrykket i slutningen stadig er en fraktioneret eksponent, gør ikke en forskel for processen. Dette kan forenkles, hvis du bemærker det x^2/3 = (x^1/3)² = ∛x². Med et udtryk som dette betyder det ikke noget, om du først tager rod eller magt. Dette eksempel illustrerer, hvordan man beregner disse:

8^1/3 + 8^1/3 = 8^2/3

= ∛8²

Da terningroden af ​​8 er let at arbejde på, skal du tackle dette på følgende måde:

∛8² = 2² = 4

Så dette betyder:

8^1/3 + 8^1/3 = 4

Du kan også støde på produkter fra fraktionerede eksponenter med forskellige numre i nævnerne af fraktionerne, og du kan tilføje disse eksponenter på samme måde, som du vil tilføje andre fraktioner. For eksempel:

x^1/4 × x^1/2 = x^{(1/4 + 1/2)}

= x^{(1/4 + 2/4)}

= x^3/4

Dette er alle specifikke udtryk for den generelle regel for at multiplicere to udtryk med eksponenter:

x^-en + x^b = x^{(-en + b)}

Regel for fraktionsexponent: Opdeling af fraktionelle eksponenter med samme base

Tag fat på opdelinger af to numre med brøkdeleksponenter ved at trække eksponenten, som du deler (divisoren), med den, du deler (udbyttet). For eksempel:

x^1/2 ÷ x^1/2 = x^{(1/2 – 1/2)}

= x⁰ = 1

Dette giver mening, fordi ethvert tal divideret med sig selv er lig med et, og dette stemmer overens med standardresultatet, at ethvert tal hævet til en magt på 0 er lig med et. Det næste eksempel bruger tal som baser og forskellige eksponenter:

16^1/2 ÷ 16^1/4 = 16^{(1/2 – 1/4)}

= 16^{(2/4 – 1/4)}

= 16^1/4

= 2

Som du også kan se, hvis du bemærker, at 16^1/2 = 4 og 16^1/4 = 2.

Som med multiplikation kan du muligvis også ende med fraktionerede eksponenter, der har et andet nummer end en i tælleren, men du behandler disse på samme måde.

Disse udtrykker ganske enkelt den generelle regel for opdeling af eksponenter:

x^-en ÷ x^b = x^{(-en – b)}

Multiplikation og opdeling af fraktionelle eksponenter i forskellige baser

Hvis baserne på betingelserne er forskellige, er der ingen let måde at formere eller opdele eksponenter på. I disse tilfælde skal du blot beregne værdien af ​​de individuelle termer og derefter udføre den krævede handling. Den eneste undtagelse er, hvis eksponenten er den samme, i hvilket tilfælde du kan multiplicere eller opdele dem som følger:

x⁴ × y⁴ = (xy)⁴

x⁴ ÷ y⁴ = (x ÷ y)⁴