Indhold
- Inverse matematiske operationer
- Funktioner kan være omvendt eller direkte
- To funktioner kan have et omvendt forhold til hinanden
Du kan se på inverse forhold i matematik på tre måder. Den første måde er at overveje operationer, der annullerer hinanden. Tilføjelse og subtraktion er de to mest indlysende operationer, der opfører sig på denne måde.
En anden måde at se på inverse relationer er at overveje den type kurver, de producerer, når du tegner sammenhængen mellem to variabler. Hvis forholdet mellem variablerne er direkte, øges den afhængige variabel, når du øger den uafhængige variabel, og grafen kurver mod stigende værdier for begge variabler. Hvis forholdet imidlertid er en omvendt, bliver den afhængige variabel mindre, når den uafhængige stiger, og grafen krummer sig mod mindre værdier for den afhængige variabel.
Visse par funktioner giver et tredje eksempel på inverse forhold. Når du tegner grafer for funktioner, der er inverse af hinanden på en x-y-akse, vises kurverne som spejlbilleder af hinanden i forhold til linjen x = y.
Inverse matematiske operationer
Tilføjelse er det mest basale i aritmetiske operationer, og det kommer med en ond tvilling - subtraktion - der kan fortryde, hvad den gør. Lad os sige, at du starter med 5, og du tilføjer 7. Du får 12, men hvis du trækker fra 7, står du tilbage med de 5, som du startede med. Det inverse af tilføjelse er subtraktion, og nettoresultatet af at tilføje og subtrahere det samme antal er ækvivalent med at tilføje 0.
Et lignende omvendt forhold eksisterer mellem multiplikation og opdeling, men der er en vigtig forskel. Nettoresultatet af at multiplicere og dividere et tal med den samme faktor er at multiplicere tallet med 1, hvilket efterlader det uændret. Dette inverse forhold er nyttigt, når man forenkler komplekse algebraiske udtryk og løser ligninger.
Et andet par omvendte matematiske operationer hæver et tal til en eksponent "n" og tager den niende rod til tallet. Det firkantede forhold er det nemmeste at overveje. Hvis du kvadrat 2, får du 4, og hvis du tager kvadratroten af 4, får du 2. Dette omvendte forhold er også nyttigt at huske, når du løser komplekse ligninger.
Funktioner kan være omvendt eller direkte
En funktion er en regel, der producerer et og kun et resultat for hvert nummer, du indtaster. Det sæt sæt, du indtaster, kaldes funktionens domæne, og det sæt resultater, som funktionen producerer, er området. Hvis funktionen er direkte, producerer en domænesekvens af positive tal, der bliver større, en rækkefølgesekvens af numre, der også bliver større. F (x) = 2x + 2, f (x) = x2 og f (x) = √x er alle direkte funktioner.
En omvendt funktion opfører sig på en anden måde. Når numrene i domænet bliver større, bliver tallene i området mindre. F (x) = 1 / x er den enkleste form for en omvendt funktion. Efterhånden som x bliver større, bliver f (x) nærmere og tættere på 0. Grundlæggende er enhver funktion med inputvariablen i nævneren af en brøkdel, og kun i nævneren, en invers funktion. Andre eksempler inkluderer f (x) = n / x, hvor n er ethvert tal, f (x) = n / √x og f (x) = n / (x + w), hvor w er et hvilket som helst heltal.
To funktioner kan have et omvendt forhold til hinanden
Et tredje eksempel på et omvendt forhold i matematik er et par funktioner, der er inverse til hinanden. Antag, at du indtaster numrene 2, 3, 4 og 5 i funktionen y = 2x + 1.Du får disse point: (2,5), (3,7), (4,9) og (5,11). Dette er en lige linje med hældning 2 og y-afskærmning 1.
Vend nu numrene i parenteserne for at oprette en ny funktion: (5,2), (7,3), (9,4) og (11,5). Området for den originale funktion bliver domænet for den nye, og domænet for den originale funktion bliver området for den nye. Det er også en linje, men dens hældning er 1/2 og dens y-afskærmning er -1/2. Ved hjælp af y = mx + b-formen på en linje finder du ligningen på linjen til at være y = (1/2) (x - 1). Dette er den inverse af den originale funktion. Du kan lige så nemt udlede det ved at skifte x og y i den originale funktion og forenkle at få y i sig selv til venstre for lige tegn.