Indhold
- TL; DR (for lang; læste ikke)
- Baggrunden: Hvordan varierer y med x?
- Direkte forhold
- Inverse forhold
- Direkte kontra inverse forhold: forskellen
At forstå forholdet mellem to variabler er målet for det meste af videnskaben. Uanset om du har et specifikt videnskabeligt spørgsmål for øje, såsom: Hvad sker der med den globale temperatur, hvis mængden af kuldioxid i atmosfæren stiger, eller hvordan varierer styrken af tyngdekraften, når du bevæger dig længere væk fra kilden, eller du er mere interesseret i en abstrakt matematisk ramme er det vigtigt at finde ud af forskellen mellem direkte og omvendte forhold, hvis du vil beskrive disse forhold. Kort sagt øges eller mindskes de direkte forhold sammen, men omvendte forhold bevæger sig i modsatte retninger.
TL; DR (for lang; læste ikke)
I et direkte forhold fører en stigning i den ene mængde til et tilsvarende fald i den anden. Dette har den matematiske formel for y = kx, hvor k er en konstant. For en cirkel er omkredsen = pi × diameter, som er et direkte forhold til pi som en konstant. En større diameter betyder en større omkreds.
I et omvendt forhold fører en stigning i den ene mængde til et tilsvarende fald i den anden. Matematisk udtrykkes dette som y = k/x. For en rejse er rejsetid = afstand ÷ hastighed, som er et omvendt forhold til den tilbagelagte afstand som en konstant. Hurtigere rejse betyder en kortere rejsetid.
Baggrunden: Hvordan varierer y med x?
Forskere og matematikere, der beskæftiger sig med direkte og inverse forhold, besvarer det generelle spørgsmål, hvordan gør det y varierer med x? Her, x og y stå i for to variabler, der stort set kunne være hvad som helst. Hvordan kan f.eks. Højden, som en bold spretter (y) afhænger af, hvor højt det er faldet fra (x)? Efter konvention, x er den uafhængige variabel og y er den afhængige variabel. Så værdien af y afhænger af værdien af x, ikke omvendt, og matematikeren har en vis kontrol over x (for eksempel kan hun vælge den højde, hvorfra hun skal kaste bolden). Når der er et direkte eller omvendt forhold, x og y er proportional med hinanden på en eller anden måde.
Direkte forhold
Et direkte forhold er proportional i den forstand, at når den ene variabel stiger, så gør den anden det også. Brug af eksemplet fra det sidste afsnit, jo højere du taber en bold fra, jo højere springer den op igen. En cirkel med en større diameter vil have en større omkreds. Hvis du øger den uafhængige variabel (x, såsom diameteren på cirklen eller højden af kugledråbet), øges den afhængige variabel også og vice versa.
Et direkte forhold er lineært. Omkretsen af en cirkel er C = π_D_, hvor C betyder omkreds og D betyder diameter. Pi er altid det samme, så hvis du fordobler værdien af D, værdien af C fordobler også. Hvis du tegner en graf over dette forhold, svarer den til en lige linje med nul omkreds kl D = 0, 3,14 kl D = 1 og 31,4 kl D = 10. Gradienten på grafen fortæller dig værdien af konstanten.
Inverse forhold
Omvendte forhold fungerer forskelligt. Hvis du øger x, værdien af y falder. Hvis du for eksempel flytter hurtigere til din destination, vil din rejsetid mindskes. I dette eksempel x er din hastighed og y er rejsetiden. Fordobling af din hastighed halverer rejsetiden, og øger hastigheden med ti gange gør rejsetiden ti gange kortere.
Matematisk har denne type forhold formen: y = k / x, hvor k er noget konstant (udfylder den samme rolle som pi i eksemplet med direkte forhold). Omvendte forhold er dog ikke lige linjer. Når du begynder at stige x, y falder virkelig hurtigt, men når du fortsætter med at stige x faldet på y bliver langsommere.
For eksempel, hvis x er længden på et par sider af et rektangel, y er længden af det andet sidepar, og k er området, formlen k = xy er gyldig, så y = k ÷ x. I dette tilfælde, y er omvendt relateret til x. For et område k = 12, dette giver y = 12 ÷ x. Til x = 3, dette viser y = 4. For x = 6, derefter y = 2. For x = 12, derefter y = 1. Først en stigning på 3 in x aftager y med 2, men derefter en stigning på 6 in x falder kun y af 1. Dette er grunden til, at omvendte forhold er faldende kurver, der får lavere, jo længere du bevæger dig langs dem.
Direkte kontra inverse forhold: forskellen
I direkte forhold, en stigning i x fører til en tilsvarende stigning i y, og et fald har den modsatte virkning. Dette skaber en lige linje. I inverse forhold øges x fører til et tilsvarende fald i y, og et fald i x fører til en stigning i y. Dette skaber en buet graf, hvor nedgangen først er hurtig, men bliver langsommere for større værdier af x.