Indhold
I matematik er en sekvens en række numre, der er arrangeret i stigende eller faldende rækkefølge. En sekvens bliver en geometrisk sekvens, når du er i stand til at opnå hvert tal ved at multiplicere det forrige tal med en fælles faktor. For eksempel serien 1, 2, 4, 8, 16. . . er en geometrisk sekvens med den fælles faktor 2. Hvis du multiplicerer et hvilket som helst tal i serien med 2, får du det næste tal. I modsætning hertil er sekvensen 2, 3, 5, 8, 14, 22. . . er ikke geometrisk, fordi der ikke er nogen fælles faktor mellem tal. En geometrisk sekvens kan have en fælles brøkdelfaktor, i hvilket tilfælde hvert efterfølgende tal er mindre end det, der går forud for det. 1, 1/2, 1/4, 1/8. . . er et eksempel. Dens fælles faktor er 1/2.
At en geometrisk sekvens har en fælles faktor giver dig mulighed for at gøre to ting. Den første er at beregne et vilkårligt tilfældigt element i sekvensen (som matematikere gerne kalder det "nth" -element), og det andet er at finde summen af den geometriske sekvens op til det niende element. Når du summerer sekvensen ved at placere et plussignal mellem hvert par par, omdanner du sekvensen til en geometrisk serie.
Find det niende element i en geometrisk serie
Generelt kan du repræsentere enhver geometrisk serie på følgende måde:
a + ar + ar2 + ar3 + ar4 . . .
hvor "a" er det første udtryk i serien, og "r" er den fælles faktor. For at kontrollere dette, skal du overveje den serie, hvor a = 1 og r = 2. Du får 1 + 2 + 4 + 8 + 16. . . det virker!
Efter at have etableret dette, er det nu muligt at udlede en formel for det niende udtryk i sekvensen (xn).
xn = ar(N-1)
Eksponenten er n - 1 snarere end n for at gøre det muligt for den første term i sekvensen at blive skrevet som ar0, der svarer til "a."
Kontroller dette ved at beregne den fjerde sigt i eksemplet serien.
x4 = (1) • 23 = 8.
Beregning af summen af en geometrisk sekvens
Hvis du vil opsummere en divergent sekvens, som er en med en fælles ration, der er større end 1 eller mindre end -1, kan du kun gøre det op til et begrænset antal udtryk. Det er imidlertid muligt at beregne summen af en uendelig konvergent sekvens, som imidlertid er en med et fælles forhold mellem 1 og -1.
For at udvikle den geometriske sumformel, start med at overveje, hvad du laver. Du leder efter det samlede antal af følgende serier med tilføjelser:
a + ar + ar2 + ar3 +. . . ar(N-1)
Hvert udtryk i serien er ark, og k går fra 0 til n-1. Formlen for summen af serien gør brug af kapitalsigma-tegnet - ∑ - hvilket betyder at tilføje alle udtryk fra (k = 0) til (k = n - 1).
Σark = a
For at kontrollere dette, skal du overveje summen af de første 4 udtryk i den geometriske serie, der starter ved 1 og have en fælles faktor på 2. I ovenstående formel, a = 1, r = 2 og n = 4. Tilslutter du disse værdier, få:
1 • = 15
Dette er let at verificere ved selv at tilføje numrene i serien. Faktisk, når du har brug for summen af en geometrisk serie, er det normalt lettere at tilføje tallene selv, når der kun er et par termer. Hvis serien har et stort antal udtryk, er det dog meget lettere at bruge den geometriske sumformel.