Indhold
Et typisk geometrisk problem er at bestemme arealet af en firkant, der er indskrevet i en cirkel, når længden af cirkelens diameter er kendt. Diameteren er en linje gennem midten af cirklen, der skærer cirklen i to lige store dele.
Definition
En firkant er en firsidet figur, hvor alle fire sider er lige lange og alle fire vinkler er 90 graders vinkler. En indskrevet firkant er en firkant tegnet inden i en cirkel på en sådan måde, at alle fire hjørner af firkanten berører cirklen.
Foreløbige tegninger
En diagonal linje trukket fra det ene hjørne af den indskrevne firkant gennem midten af cirklen når det modsatte hjørne af firkanten. Denne linje danner cirkelens diameter og opdeler samtidig kvadratet i to lige højre trekanter - trekanter, hvor den ene af de tre vinkler er 90 grader.
Løsning
I hver af disse højre trekanter er summen af kvadraterne for de to lige kortere sider (siderne af kvadratet) lig med kvadratet på den længste side (cirkelens diameter), hvis værdi er en kendt mængde. Denne formel afslører, når den er ordentligt løst, at en side af kvadratet er lig med halve cirkelens diameter (dvs. dens radius) gange kvadratroten af 2. Fordi kvadratets område er en af dens sider multipliceret med sig selv, areal er lig med kvadratet på cirkelens radius gange 2. Da cirkelens radius er en kendt mængde, giver dette den numeriske værdi for området for det indskrevne kvadrat.