Indhold
- Integration af grundlæggende firkantede rodfunktioner
- Integration af mere komplekse firkantede rodfunktioner
Integration af funktioner er en af kerneprogrammerne til beregning. Nogle gange er dette ligetil, som i:
F (x) = ∫ (x3 + 8) dx
I et relativt kompliceret eksempel af denne type kan du bruge en version af den grundlæggende formel til integration af ubestemte integraler:
∫ (xn + A) dx = x(n + 1)/ (n + 1) + An + C,
hvor A og C er konstanter.
Således for dette eksempel,
∫ x3 + 8 = x4/ 4 + 8x + C.
Integration af grundlæggende firkantede rodfunktioner
På overfladen er det vanskelig at integrere en firkantet rodfunktion. For eksempel kan du blive stymmet af:
F (x) = ∫ √dx
Men du kan udtrykke en firkantet rod som en eksponent, 1/2:
√ x3 = x3(1/2) = x(3/2)
Integralet bliver derfor:
∫ (x3/2 + 2x - 7) dx
som du kan anvende den sædvanlige formel ovenfra:
= x(5/2)/ (5/2) + 2 (x2/ 2) - 7x
= (2/5) x(5/2) + x2 - 7x
Integration af mere komplekse firkantede rodfunktioner
Nogle gange kan du have mere end et udtryk under det radikale tegn, som i dette eksempel:
F (x) = ∫ dx
Du kan bruge u-substitution for at fortsætte. Her indstiller du u lig med mængden i nævneren:
u = √ (x - 3)
Løs dette for x ved at kvadrere begge sider og trække:
u2 = x - 3
x = u2 + 3
Dette giver dig mulighed for at få dx i form af u ved at tage afledningen af x:
dx = (2u) du
At udskifte tilbage i det originale integrale giver
F (x) = ∫ (u2 + 3 + 1) / udu
= ∫du
= ∫ (2u2 + 8) du
Nu kan du integrere dette ved hjælp af den grundlæggende formel og udtrykke u i form af x:
∫ (2u2 + 8) du = (2/3) u3 + 8u + C
= (2/3) 3 + 8 + C
= (2/3) (x - 3)(3/2) + 8 (x - 3)(1/2) + C