Indhold
- TL; DR (for lang; læste ikke)
- Hvad er et komplekst tal?
- Grundlæggende regler for algebra med komplekse numre
- Deling af komplekse numre
- Forenkling af komplekse numre
Algebra involverer ofte forenkling af udtryk, men nogle udtryk er mere forvirrende at håndtere end andre. Komplekse tal involverer den mængde, der er kendt som jeg, et "imaginært" nummer med ejendommen jeg = √ − 1. Hvis du blot skal have et udtryk, der involverer et komplekst tal, kan det virke afskrækkende, men det er en ganske simpel proces, når du først lærer de grundlæggende regler.
TL; DR (for lang; læste ikke)
Forenkle komplekse tal ved at følge reglerne for algebra med komplekse tal.
Hvad er et komplekst tal?
Komplekse tal defineres ved deres optagelse af jeg udtryk, som er kvadratroten på minus en. I grundlæggende niveau matematik findes firkantede rødder med negative tal ikke rigtig, men de vises lejlighedsvis i algebra-problemer. Den generelle form for et komplekst tal viser deres struktur:
z = -en + bi
Hvor z mærker det komplekse nummer, -en repræsenterer ethvert tal (kaldet den "rigtige" del), og b repræsenterer et andet tal (kaldet den "imaginære" del), som begge kan være positive eller negative. Så et eksempel på et komplekst tal er:
z = 2 −4_i_
Da alle firkantede rødder med negative tal kan repræsenteres med multipla af jeg, dette er formen for alle komplekse tal. Teknisk beskriver et almindeligt nummer bare et specielt tilfælde med et komplekst tal hvor b = 0, så alle tal kan betragtes som komplekse.
Grundlæggende regler for algebra med komplekse numre
For at tilføje og trække komplekse tal skal du blot tilføje eller trække de reelle og imaginære dele separat. Så for komplekse tal z = 2 - 4_i_ og w = 3 + 5_i_, summen er:
z + w = (2 - 4_i_) + (3 + 5_i_)
=(2 + 3) + (−4 + 5)jeg
= 5 + 1_i_ = 5 + jeg
At trække talene fungerer på samme måde:
z − w = (2 - 4_i_) - (3 + 5_i_)
= (2 − 3) + (−4 − 5)jeg
= −1 - 9_i_
Multiplikation er en anden enkel operation med komplekse tal, fordi det fungerer som almindelig multiplikation, medmindre du skal huske det jeg2 = −1. Så for at beregne 3_i_ × −4_i_:
3_i_ × −4_i_ = −12_i_2
Men siden jeg2= −1, derefter:
-12_i_2 = −12 ×−1 = 12
Med fulde komplekse tal (ved hjælp af z = 2 - 4_i_ og w = 3 + 5_i_ igen), multiplicerer du dem på samme måde som du ville med almindelige tal som (-en + b) (c + d) ved hjælp af metoden “første, indre, ydre, sidste” (FOIL) til at give (-en + b) (c + d) = ac + bc + annonce + bd. Alt hvad du skal huske er at forenkle alle tilfælde af jeg2. Så for eksempel:
z × w = (2 - 4_i _) (3 + 5_i_)
= (2 × 3) + (−4_i_ × 3) + (2 × 5_i_) + (−4_i_ × 5_i_)
= 6 −12_i_ + 10_i_ - 20_i_2
= 6 −2_i_ + 20 = 26 + 2_i_
Deling af komplekse numre
Opdeling af komplekse tal involverer at multiplicere tælleren og nævneren af fraktionen med det komplekse konjugat af nævneren. Det komplekse konjugat betyder bare versionen af det komplekse nummer med den imaginære del omvendt i tegn. Så for z = 2 - 4_i_, det komplekse konjugat z = 2 + 4_i_, og for w = 3 + 5_i_, w = 3 −5_i_. For problemet:
z / w = (2 - 4_i_) / (3 + 5_i_)
Det nødvendige konjugat er w*. Del tælleren og nævneren med dette for at give:
z / w = (2 - 4_i_) (3 −5_i_) / (3 + 5_i _) (3 - 5_i_)
Og så arbejder du igennem som i det foregående afsnit. Tælleren giver:
(2 - 4_i_) (3 −5_i_) = 6 - 12_i_ - 10_i_ + 20_i_2
= −14 - 22_i_
Og nævneren giver:
(3 + 5_i _) (3 - 5_i_) = 9 + 15_i_ - 15_i_ −25_i_2
= 9 + 25 = 34
Det betyder:
z / w = (−14 - 22_i_) / 34
= −14/34 - 22_i_ / 34
= −7/17 - 11_i_ / 17
Forenkling af komplekse numre
Brug ovenstående regler efter behov for at forenkle komplekse udtryk. For eksempel:
z = ((4 + 2_i_) + (2 - jeg)) ÷ ((2 + 2_i _) (2+ jeg))
Dette kan forenkles ved at bruge tilføjelsesreglen i tælleren, multiplikationsreglen i nævneren og derefter afslutte opdelingen. For tælleren:
(4 + 2_i_) + (2 - jeg) = 6 + jeg
For nævneren:
(2 + 2_i _) (2+ jeg) = 4 + 4_i_ + 2_i_ + 2_i_2
= (4 - 2) + 6_i_
= 2 + 6_i_
At sætte disse tilbage på plads giver:
z = (6 + jeg) / (2 + 6_i_)
At multiplicere begge dele med nævnerens konjugat fører til:
z = (6 + jeg) (2 - 6_i_) / (2 + 6_i_) (2 - 6_i_)
= (12 + 2_i_ - 36_i_ −6_i_2) / (4 + 12_i_ - 12_i_ −36_i_2)
= (18 - 34_i_) / 40
= (9 - 17_i_) / 20
= 9/20 −17_i_ / 20
Så det betyder z forenkler som følger:
z = ((4 + 2_i_) + (2 - jeg)) ÷ ((2 + 2_i _) (2+ jeg)) = 9/20 −17_i_ / 20