Indhold
- Find den centrale vinkel fra buelængde og omkreds
- Find den centrale vinkel fra buelængden og radius
- Det centrale vinkelsæt
- Undtagelse fra Central Angle Theorem
- Visualiser
Forestil dig, at du står midt i en perfekt cirkulær arena. Du ser ud mod folkemængderne langs siderne af arenaen, og du placerer din bedste ven på et sæde og din middelskolelærer i et par sektioner over. Hvad er afstanden mellem dem og dig? Hvor langt er du nødt til at gå for at rejse fra din vens plads til dit lærerstol? Hvad er målene for vinklerne imellem dig? Dette er alle spørgsmål relateret til centrale vinkler.
EN central vinkel er den vinkel, der dannes, når to radier trækkes fra midten af cirklen til dets kanter. I dette eksempel er de to radier dine to synslinjer fra dig, i centrum af arenaen, til din ven og din synslinie til din lærer. Vinklen, der dannes mellem disse to linjer, er den centrale vinkel. Det er den vinkel, der er tættest på cirklens centrum.
Din ven og din lærer sidder langs omkreds eller kanterne på cirklen. Vejen langs arenaen, der forbinder dem er en bue.
Find den centrale vinkel fra buelængde og omkreds
Der er et par ligninger, som du kan bruge til at finde den centrale vinkel. Nogle gange får du lysbue, afstanden langs omkredsen mellem to punkter. (I eksemplet er dette afstanden, som du bliver nødt til at gå rundt i arenaen for at komme fra din ven til din lærer.) Forholdet mellem central vinkel og lysbue er:
(lysbue længde) ÷ omkreds = (central vinkel) ÷ 360 °
Den centrale vinkel vil være i grader.
Denne formel giver mening, hvis du tænker over det. Længden af lysbuen ud af den samlede længde omkring cirklen (omkreds) er den samme andel som buerens vinkel ud af den samlede vinkel i en cirkel (360 grader).
For at bruge denne ligning effektivt skal du kende cirklens omkreds. Men du kan også bruge denne formel til at finde buelængde, hvis du kender den centrale vinkel og omkredsen. Eller, hvis du har buelængde og midtervinkel, kan du finde omkredsen!
Find den centrale vinkel fra buelængden og radius
Du kan også bruge cirkelens radius og lysbuens længde til at finde den centrale vinkel. Kald målet for den centrale vinkel θ. Derefter:
θ = s ÷ r, hvor s er buelængden, og r er radien. θ måles i radianer.
Igen kan du omarrangere denne ligning afhængigt af de oplysninger, du har. Du kan finde længden på lysbuen fra radius og den midterste vinkel. Eller du kan finde radius, hvis du har den centrale vinkel og lysbue.
Hvis du vil have buelængde, ser ligningen sådan ud:
s = θ * r, hvor s er buelængden, r er radius, og θ er den centrale vinkel i radianer.
Det centrale vinkelsæt
Lad os tilføje et twist til dit eksempel, hvor du er i arenaen med din nabo og din lærer. Nu er der en tredje person, du kender på arenaen: din nabo ved siden af. Og en ting til: De er bag dig. Du skal vende dig for at se dem.
Din nabo er omtrent på tværs af arenaen fra din ven og din lærer. Fra dine naboer synspunkt er der en vinkel dannet af deres synslinie for venen og deres synslinie for læreren. Det kaldes en indskrevet vinkel. en indskrevet vinkel er en vinkel dannet af tre punkter langs en cirkels omkreds.
Den centrale vinklingsteorem forklarer forholdet mellem størrelsen på den centrale vinkel, der er dannet af dig, og den indskrevne vinkel, der er dannet af din nabo. Det Central vinkling sætning siger det den centrale vinkel er det dobbelte af den indskrevne vinkel. (Dette antager, at du bruger de samme slutpunkter. Du både ser på læreren og venen, ikke nogen anden).
Her er en anden måde at skrive det på. Lad os kalde dine venner sæde A, dine lærere sæde B og dine naboer sæde C. Du, i centrum, kan være O.
Så for tre punkter A, B og C langs omkredsen af en cirkel og punkt O i midten er den centrale vinkel ∠AOC dobbelt så den indskrevne vinkel ∠ABC.
Det er, ∠AOC = 2∠ABC.
Dette giver en vis mening. Du er tættere på venen og læreren, så for dig ser de længere fra hinanden (en større vinkel). For din nabo på den anden side af stadionet ser de meget tættere sammen (en mindre vinkel).
Undtagelse fra Central Angle Theorem
Lad os nu skifte ting op. Din nabo på ydersiden af arenaen begynder at bevæge sig rundt! De har stadig en synslinje for venen og læreren, men linierne og vinklerne skifter hele tiden, når naboen bevæger sig. Gæt hvad: Så længe naboen forbliver udenfor lysbuen mellem venen og naboen, gælder den centrale vinkelsætning stadig!
Men hvad sker der, når naboen flytter mellem venen og læreren? Nu er din nabo inde i mindre bue, den relativt lille afstand mellem ven og lærer sammenlignet med den større afstand omkring resten af arenaen. Derefter når du en undtagelse fra Central Angle Theorem.
Det undtagelse fra Central Angle Theorem angiver, at når punkt C, nabo, er inden i den mindre bue, er den indskrevne vinkel supplementet til halve den centrale vinkel. (Husk, at en vinkel og dens supplement tilføj til 180 grader.)
Så: indskrevet vinkel = 180 - (central vinkel ÷ 2)
Eller: ∠ABC = 180 - (∠AOC ÷ 2)
Visualiser
Math Open Reference har et værktøj til at visualisere Central Angle Theorem og dens undtagelse. Du får at trække "naboen" til alle forskellige dele af cirklen og se, hvordan vinklerne ændrer sig. Prøv det, hvis du vil have en visuel eller ekstra praksis!