Indhold
Når du begynder at løse algebraiske ligninger, der involverer polynomer, bliver evnen til at genkende specielle, let betegnede former for polynomer meget nyttig. En af de mest nyttige "letfaktor" -polynomer at se er den perfekte firkant eller trinomialet, der skyldes kvadrering af en binomial. Når du har identificeret en perfekt firkant, er det ofte en vigtig del af problemløsningen at indarbejde det i dets individuelle komponenter.
Identificering af perfekte firkantede trinomer
Inden du kan faktorere en perfekt firkantet trinomial, skal du lære at genkende det. En perfekt firkant kan antage en af to former:
Nogle eksempler på perfekte firkanter, som du måske kan se i den "virkelige verden" af matematiske problemer inkluderer:
Hvad er nøglen til at genkende disse perfekte firkanter?
Kontroller det første og tredje udtryk i trinomialet. Er de begge firkanter? Hvis ja, find ud af, hvad de er firkanter på. For eksempel i det andet "virkelige verden" -eksempel, der er givet ovenfor, y2 - 2_y_ + 1, udtrykket y2 er åbenlyst kvadratet af y. Udtrykket 1 er måske mindre åbenlyst kvadratet på 1, fordi 12 = 1.
Multiplicer rødderne af det første og det tredje udtryk sammen. For at fortsætte eksemplet er det y og 1, som giver dig y × 1 = 1_y_ eller simpelthen y.
Derefter skal du multiplicere dit produkt med 2. Fortsæt med eksemplet, har du 2_y._
Til sidst kan du sammenligne resultatet af det sidste trin med det midterste sigt i polynomet. Stemmer de hinanden? I polynomet y2 - 2_y_ + 1, det gør de. (Tegnet er irrelevant; det vil også være en kamp, hvis mellemtermen var + 2_y_.)
Fordi svaret i trin 1 var "ja", og dit resultat fra trin 2 stemmer overens med polynomiets midterste sigt, ved du, at du ser på en perfekt firkantet trinomial.
Factoring en perfekt firkantet trinomial
Når du først kender, at du ser på en perfekt firkantet trinomial, er processen med at indstille det ganske ligetil.
Identificer rødderne eller numrene, der er firkantet, i det første og tredje udtryk i trinomialet. Overvej et andet af dine eksempler på trinomier, som du allerede ved, er en perfekt firkant, x2 + 8_x_ + 16. Det er klart, at antallet, der er kvadratet i den første periode, er x. Antallet, der er firkantet i den tredje periode, er 4, fordi 42 = 16.
Tænk tilbage på formlerne til perfekte firkantede trinomer. Du ved, at dine faktorer antager formen (-en + b)(-en + b) eller formen (-en – b)(-en – b), hvor -en og b er de tal, der er firkantet i første og tredje termer. Så du kan udskrive dine faktorer således, idet du udelader tegnene midt i hvert valg i øjeblikket:
(-en ? b)(-en ? b) = -en2 ? 2_ab_ + b2
For at fortsætte eksemplet ved at erstatte rødderne på dit nuværende trinomial, har du:
(x ? 4)(x ? 4) = x2 + 8_x_ + 16
Kontroller trinomialets midterste sigt. Har det et positivt tegn eller et negativt tegn (eller for at sige det på en anden måde, tilføjes eller trækkes det)? Hvis det har et positivt tegn (eller tilføjes), har begge faktorer i trinomialet et plustegn i midten. Hvis det har et negativt tegn (eller bliver trukket fra), har begge faktorer et negativt tegn i midten.
Den midterste sigt i det nuværende eksempel trinomial er 8_x_ - dets positive - så du har nu taget højde for det perfekte firkantede trinomial:
(x + 4)(x + 4) = x2 + 8_x_ + 16
Kontroller dit arbejde ved at multiplicere de to faktorer sammen. Anvendelse af FOIL eller første, ydre, indre, sidste metode giver dig:
x2 + 4_x_ + 4_x_ + 16
Forenkling af dette giver resultatet x2 + 8_x_ + 16, der matcher dit trinomial. Så faktorerne er korrekte.