Indhold
- TL; DR (for lang; læste ikke)
- Matematisk repræsentation
- Bestemmelse af domænet
- Hvornår er en relation ikke en funktion?
I matematik er en funktion en regel, der relaterer hvert element i et sæt, kaldet domænet, til nøjagtigt et element i et andet sæt, kaldet området. På en x-y-akse er domænet repræsenteret på x-aksen (vandret akse) og domænet på y-aksen (lodret akse). En regel, der relaterer et element i domænet til mere end et element i området, er ikke en funktion. Dette krav betyder, at hvis du tegner en funktion, kan du ikke finde en lodret linje, der krydser grafen mere end et sted.
TL; DR (for lang; læste ikke)
En relation er kun en funktion, hvis det relaterer hvert element i sit domæne til kun et element i området. Når du tegner en funktion, skærer en lodret linje den kun på et punkt.
Matematisk repræsentation
Matematikere repræsenterer normalt funktioner ved bogstaverne "f (x)", selvom andre bogstaver fungerer lige så godt. Du læser bogstaverne som "f af x." Hvis du vælger at repræsentere funktionen som g (y), vil du læse den som "g af y." Ligningen for funktionen definerer den regel, hvormed inputværdien x omdannes til et andet tal. Der er et uendeligt antal måder at gøre dette på. Her er tre eksempler:
f (x) = 2x
g (y) = y2 + 2y + 1
p (m) = 1 / √ (m - 3)
Bestemmelse af domænet
Sættet med numre, som funktionen "fungerer" for, er domænet. Dette kan være alle numre, eller det kan være et specifikt sæt numre. Domænet kan også være alle numre undtagen et eller to, som funktionen ikke fungerer til. For eksempel er domænet til funktionen f (x) = 1 / (2-x) alle tal undtagen 2, fordi når du indtaster to, er nævneren 0, og resultatet er udefineret. Domænet for 1 / (4 - x2) på den anden side er alle tal undtagen +2 og -2, fordi kvadratet for begge disse tal er 4.
Du kan også identificere domænet for en funktion ved at se på dens graf. Start ekstreme venstre og bevæger dig til højre, og træk lodrette linjer gennem x-aksen. Domænet er alle værdierne for x, som linjen skærer grafen for.
Hvornår er en relation ikke en funktion?
Per definition relaterer en funktion hvert element i domænet til kun et element i området. Dette betyder, at hver lodrette linje, du tegner gennem x-aksen, kun kan skære funktionen på ét punkt. Dette fungerer for alle lineære ligninger og ligninger med højere effekt, hvor kun x-termen hæves til en eksponent. Det fungerer ikke altid for ligninger, hvor både x- og y-termerne hæves til en magt. For eksempel x2 + y2 = a2 definerer en cirkel. En lodret linje kan krydse en cirkel på mere end et punkt, så denne ligning er ikke en funktion.
Generelt er et forhold f (x) = y kun en funktion, hvis du for hver værdi af x, som du tilslutter den, kun får en værdi for y. Undertiden er den eneste måde at fortælle, om et givet forhold er en funktion eller ej, at prøve forskellige værdier for x for at se, om de giver unikke værdier for y.
Eksempler: Definerer følgende ligninger funktioner?
y = 2x +1 Dette er ligningen med en lige linje med hældning 2 og y-afskærmning 1, så det ER en funktion.
y2 = x + 1 Lad x = 3. Værdien for y kan derefter være ± 2, så dette ER IKKE en funktion.
y3 = x2 Uanset hvilken værdi vi indstiller til x, får du kun en værdi for y, så dette ER en funktion.
y2 = x2 Fordi y = ± √x2, dette ER IKKE en funktion.