Indhold
- Hvad er en faktor?
- Find den største fælles faktor: metode én
- Find den største fælles faktor: Metode to
- Forenkling af fraktioner med fælles faktorer
At finde den største fælles faktor, eller GCF, af to tal er nyttig i mange situationer i matematik, men især når det kommer til at forenkle fraktioner. Hvis du kæmper med dette eller finder fællesnævner, vil det at lære to metoder til at finde fælles faktorer hjælpe dig med at opnå det, du planlægger at gøre. Først er det dog en god ide at lære om det grundlæggende ved faktorer; derefter kan du se på to tilgange til at finde fælles faktorer. Endelig kan du se på, hvordan du anvender din viden for at forenkle en brøkdel.
Hvad er en faktor?
Faktorer er de tal, du multiplicerer sammen for at producere et andet tal. For eksempel er 2 og 3 faktorer på 6, fordi 2 × 3 = 6. Tilsvarende er 3 og 3 faktorer på 9, fordi 3 × 3 = 9. Som du måske ved, er primtal tal, der ikke har andre faktorer end sig selv og 1. Så 3 er et primtal, fordi de eneste to hele tal (heltal), der kan formere sig sammen for at give 3 som svar, er 3 og 1. På samme måde er 7 et primtal, og det samme er 13 .
På grund af dette er det ofte nyttigt at opdele et tal i “primfaktorer.” Det betyder, at man finder alle primtallfaktorer i et andet tal. Grundlæggende bryder det antallet ned i dets grundlæggende ”byggesten”, som er et nyttigt skridt hen imod at finde den største fælles faktor af to tal og er også uvurderlig, når det gælder forenkling af firkantede rødder.
Find den største fælles faktor: metode én
Den enkleste metode til at finde den største fælles faktor for to tal er blot at liste alle faktorer for hvert nummer og se efter det højeste antal, som begge deler. Forestil dig, at du vil finde den højeste fælles faktor på 45 og 60. Først skal du se på de forskellige tal, du kan formere sig sammen for at producere 45.
Den nemmeste måde at starte på er med de to, du ved, at de vil arbejde, selv for et primtal. I dette tilfælde ved vi 1 × 45 = 45, så vi ved, at 1 og 45 er faktorer på 45. Dette er de første og sidste faktorer på 45, så du kan bare udfylde derfra. Derefter skal du finde ud af, om 2 er en faktor. Dette er let, fordi ethvert jævnt tal kan deles med 2, og ethvert ulige tal ikke. Så vi ved, at 2 ikke er en faktor på 45. Hvad med 3? Du skal være i stand til at se, at 3 er en faktor på 45, fordi 3 × 15 = 45 (du kan altid bygge videre på, hvad du ved for at finde ud af dette, for eksempel ved du, at 3 × 12 = 36, og tilføje trekanter til dette fører dig til 45).
Dernæst er 4 en faktor på 45? Nej - du ved 11 × 4 = 44, så det kan ikke være! Hvad med 5? Dette er et andet let nummer, fordi ethvert tal, der slutter på 0 eller 5, kan deles med 5. Og med dette kan du nemt se, at 5 × 9 = 45. Men 6 er ikke godt, fordi 7 × 6 = 42 og 8 × 6 = 48. Fra dette kan du også se, at 7 og 8 ikke er faktorer på 45. Vi ved allerede, at 9 er, og det er let at se, at 10 og 11 ikke er faktorer. Fortsæt denne proces, og du vil se, at 15 er en faktor, men intet andet er det.
Så faktorerne 45 er: 1, 3, 5, 9, 15 og 45.
I 60 løber du nøjagtigt den samme proces. Denne gang er tallet jævnt (så du ved, 2 er en faktor) og deles med 10 (så 5 og 10 er begge faktorer), hvilket gør tingene lidt lettere. Når du har gennemgået processen igen, skal du se, at faktorerne 60 er: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 og 60.
Sammenligning af de to lister viser, at 15 er den største fælles faktor på 45 og 60. Denne metode kan være tidskrævende, men den er enkel, og den vil altid fungere. Du kan også starte med en hvilken som helst høj fælles faktor, som du kan se med det samme, og derefter blot kigge efter højere faktorer for hvert tal.
Find den største fælles faktor: Metode to
Den anden metode til at finde GCF for to tal er at bruge primære faktorer. Processen med prime faktorisering er lidt lettere og mere struktureret end at finde alle faktorer. Lad os gennemgå processen i 42 og 63.
Processen med primfaktorisering indebærer grundlæggende at nedbryde antallet, indtil du kun sidder med primtal. Det er bedst at starte med den mindste prime (to) og arbejde derfra. Så for 42 er det let at se, at 2 × 21 = 42. Arbejde derefter fra 21: Er 2 en faktor? Nej. Er 3? Ja! 3 × 7 = 21, og 3 og 7 er begge primtal. Dette betyder, at de primære faktorer på 42 er 2, 3 og 7. Den første "pause", der blev brugt 2 til at komme til 21, og den anden opdelt dette til 3 og 7. Du kan kontrollere dette ved at multiplicere alle dine faktorer sammen og kontrollere får du det originale nummer: 2 × 3 × 7 = 42.
For 63 er 2 ikke en faktor, men 3 er det, fordi 3 × 21 = 63. Igen bryder 21 op i 3 og 7 - begge prime - så du kender de primære faktorer! Kontrol viser, at 3 × 3 × 7 = 63, efter behov.
Du finder den højeste fælles faktor ved at se på hvilke primære faktorer de to tal har til fælles. I dette tilfælde har 42 2, 3 og 7, og 63 har 3, 3 og 7. De har 3 og 7 til fælles. For at finde den højeste fælles faktor skal du multiplicere alle de fælles primære faktorer sammen. I dette tilfælde er 3 × 7 = 21, så 21 er den største fælles faktor på 42 og 63.
Det foregående eksempel kan også løses hurtigere på denne måde. Fordi 45 kan deles med tre (3 × 15 = 45), og 15 også kan deles med tre (3 × 5 = 15), er hovedfaktorerne på 45 3, 3 og 5. For 60 er det delbart med to (2 × 30 = 60), 30 kan også deles med to (2 × 15 = 30), og så står du tilbage med 15, som vi ved, har tre og fem som hovedfaktorer, hvilket efterlader 2, 2, 3 og 5. Sammenligning af de to lister er tre og fem de fælles primære faktorer, så den største fælles faktor er 3 × 5 = 15.
I tilfælde af at der er tre eller flere fælles primære faktorer, multiplicerer du dem alle sammen på samme måde for at finde den største fælles faktor.
Forenkling af fraktioner med fælles faktorer
Hvis du får præsenteret en brøk som 32/96, kan den foretage enhver beregning, der kommer efter den meget kompliceret, medmindre du kan se en måde at forenkle brøkdelen på. At finde den laveste fælles faktor på 32 og 96 fortæller dig antallet, du skal dele begge med, for at få en enklere brøk. I dette tilfælde:
32 = 2 × 16
16 = 2 × 2 × 2 × 2
Så 32 = 25 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2
For 96 giver processen:
96 = 48 × 2
48 = 24 × 2
24 = 12 × 2
12 = 6 × 2
6 = 3 × 2
Så 96 = 25 × 3 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 3
Det skal være klart, at 25 = 32 er den højeste fælles faktor. Ved at dele begge dele af fraktionen med 32 giver:
32/96 = 1/3
At finde fællesnævnere er en lignende proces. Forestil dig, at du skulle tilføje fraktionerne 15/45 og 40/60. Vi ved fra det første eksempel, at 15 er den højeste fælles faktor på 45 og 60, så vi kan straks udtrykke dem som 5/15 og 10/15. Da 3 × 5 = 15, og begge tællere også kan deles med fem, kan vi dele begge dele af begge fraktioner med fem for at få 1/3 og 2/3. Nu er de meget lettere at tilføje og se, at 15/45 + 40/60 = 1.