Indhold
Projektilbevægelse henviser til bevægelsen af en partikel, der tildeles med en indledende hastighed, men som efterfølgende ikke udsættes for kræfter udover tyngdekraften.
Dette inkluderer problemer, hvor en partikel kastes i en vinkel mellem 0 og 90 grader mod vandret, hvor vandret normalt er jorden. For nemheds skyld antages disse projektiler at rejse i (x, y) fly, med x repræsenterer vandret forskydning og y lodret forskydning.
Stien taget af et projektil omtales som dens bane. (Bemærk, at det fælles link i "projektil" og "bane" er stavelsen "-jekt", det latinske ord for "kast." At sprøjte nogen er bogstaveligt talt at kaste ham ud.) Projektilet er oprindelsesstedet i problemer hvor du skal beregne banen, antages normalt at være (0, 0) for enkelhed, medmindre andet er angivet.
Banen til et projektil er en parabola (eller i det mindste sporer en del af en parabola), hvis partiklen er lanceret på en sådan måde, at den har en ikke-horisontal bevægelsesdel, og der ikke er nogen luftmodstand, der påvirker partiklen.
De kinematiske ligninger
Variablerne af interesse i bevægelsen af en partikel er dens positionskoordinater x og y, dens hastighed v, og dens acceleration -en, alt sammen med en given forløbet tid t siden starten af problemet (når partiklen startes eller frigives). Bemærk, at udeladelsen af masse (m) indebærer, at tyngdekraften på Jorden fungerer uafhængigt af denne mængde.
Bemærk også, at disse ligninger ignorerer rollen som luftmodstand, hvilket skaber en trækkraft modsat bevægelse i jordens virkelige situationer. Denne faktor introduceres på kurser i mekanik på højere niveau.
Variabler, der får et underskrift "0", henviser til værdien af denne mængde på et tidspunkt t = 0 og er konstanter; ofte er denne værdi 0 takket være det valgte koordinatsystem, og ligningen bliver så meget enklere. Acceleration behandles som konstant i disse problemer (og er i y-retning og lig med -g, eller –9,8 m / s2, accelerationen på grund af tyngdekraften nær Jordens overflade).
Horisontal bevægelse:
x = x0 + vx t
Lodret bevægelse:
Eksempler på projektilbevægelse
Nøglen til at være i stand til at løse problemer, der inkluderer baneberegninger, er at vide, at de horisontale (x) og lodrette (y) bevægelseskomponenter kan analyseres separat, som vist ovenfor, og deres respektive bidrag til den samlede bevægelse pænt summeres i slutningen af problemet.
Problemer med projektilbevægelse tæller som problemer med frit fald, for uanset hvordan ting ser ud lige efter gang t = 0, den eneste kraft, der virker på det bevægende objekt, er tyngdekraften.
Bane beregninger
1. De hurtigste kastere i baseball kan kaste en bold lige over 100 miles i timen eller 45 m / s. Hvis en kugle kastes lodret opad med denne hastighed, hvor høj vil den komme, og hvor lang tid tager det at vende tilbage til det punkt, hvor den blev frigivet?
Her vy0 = 45 m / s, -g = –9,8 m / s, og mængderne af interesse er den ultimative højde, eller y, og den samlede tid tilbage til Jorden. Total tid er en todelt beregning: tid op til y og tid tilbage til y0 = 0. For den første del af problemet, vy, når bolden når sin højde, er 0.
Start med at bruge ligningen vy2 = v0y2 - 2g (åååå0) og tilslutte de værdier, du har:
0 = (45)2 - (2) (9,8) (y-0) = 2.025 - 19.6y
y = 103,3 m
Ligningen vy = v0y - gt viser, at tiden t dette tager er (45 / 9,8) = 4,6 sekunder. For at få total tid skal du tilføje denne værdi til den tid, det tager for bolden at falde frit til dens udgangspunkt. Dette er givet af y = y0 + v0yt - (1/2) gt2 , hvor nu, fordi bolden stadig er i det øjeblik, før den begynder at falde, v0y = 0.
Opløsning (103,3) = (1/2) gt2 for t giver t = 4,59 sekunder.
Den samlede tid er således 4,59 + 4,59 = 9,18 sekunder. Det måske overraskende resultat, at hvert "ben" af turen, op og ned, tog samme tid, understreger det faktum, at tyngdekraften er den eneste kraft, der spiller her.
2. Område ligningen: Når et projektil startes med en hastighed v0 og en vinkel θ fra vandret, har den indledende vandrette og lodrette hastighedskomponenter v0x = v0(cos θ) og v0y = v0(synd θ).
Fordi vy = v0y - gt, og vy = 0, når projektilet når sin maksimale højde, er tiden til maksimal højde angivet med t = v0y/ G. På grund af symmetri tager det tid at vende tilbage til jorden (eller y = y0) er simpelthen 2t = 2v0y/g.
Endelig ved at kombinere disse med forholdet x = v0xt, er den vandrede afstand, der er tilbagelagt, givet en startvinkel θ
R (interval) = 2 (v02synd θ ⋅ cos θ / g) = v02(Sin2θ) / g
(Det sidste trin kommer fra den trigonometriske identitet 2 sinθ ⋅ cosθ = sin 2θ.)
Da sin2θ har sin maksimale værdi på 1, når θ = 45 grader, maksimerer brugen af denne vinkel den vandrette afstand for en given hastighed ved
R = v02/ G.