Indhold
I grundskolematematik, når eleverne lærer at tegne enkle lineære funktioner, introduceres de til begrebet a hældning.
En lineær funktion er kun en med en graf repræsenteret af en lige linje af en eller anden art med dens placering og retning i forhold til x- og y-akser afhængigt af funktionsegenskaber.
En lineær ligning har formen
y = mx + bHvor y er den afhængige variabel, m er skråningen, og b er en mængde kaldet y-afskærmning, det punkt linjen krydser på y-akse.
Men du har måske også hørt om en matematisk konstruktion kaldet a karakter, eller en procentklasse. Forvirrede, tvetydige udtryk som "hældningsforhold" og "hældningskvalitet" hjælper ikke.
Er skråninger og karakterer relateret? De er faktisk, og begge er uundværlige i matematik og teknik.
Hvad er hældning?
I hverdagen er en hældning en stabil, vedvarende stigning eller nedstigning. Det er hvad det betyder i matematik også, men på en mere formel måde. Linjens hældning er ændringen i lodret (y) afstand pr. Enhedsændring i vandret (x) afstand.
For eksempel, hvis et punkt i et koordinatsystem flytter 11 enheder i det positive x-retning og fire enheder negativt y-retning, hældningen er (–4) / (11) = –0.364. Minustegnet betyder linjevinklerne "ned ad bakke" i forhold til vandret x-akse.
En vandret linje som funktionen y = 5, hvor der ikke er nogen lodret ændring overalt, har en hældning på 0. En lodret linje, såsom x = −3, har en udefineret hældning da der ikke er nogen horisontal ændring, og det er ikke tilladt at dividere med nul i matematik.
Punkt-hældningsformlen
Punkt-hældningsformlen er nyttig til at bestemme ligningen af en linje, når enten to punkter eller et punkt og skråningen er kendt. Det har formen
y - y_0 = m (x - x_0)Hvis du fik koordinater (12, −7) og fortalte, at grafen for funktionen havde en hældning på 1,25, kunne du bestemme den generelle ligning:
(y - (−7)) = 1,25 (x - 12) (y + 7) = 1,25x −15 y = 1,25x - 22
Procent grad
Grad eller procent karakter, er bare skråningen udtrykt i procent. Det bruges ofte i virkelige situationer, der involverer anlæg af veje, hvis allerhøjeste er overraskende lave hældningsværdier.
F.eks. Har Pennsylvania Turnpike i det østlige USA en maksimal hældning på 0,03, hvilket betyder, at den stiger eller falder ikke mere 3 fod for hver 100 vandrette fødder, der rejses over ethvert segment. Procentklassen i dette tilfælde er 100 × 0,03 = 3 procent.
I trigonometri y/x, eller "stige over løb," er også tangenten af den vinkel, der er dannet af den stigende eller faldende linje og den vandrette. Dette betyder, at den inverse tangens (tan −1 eller arctan på en lommeregner) af skråningen svarer til denne vinkel.
Hældningsafstandskalkulator
Hvis du kender en linjes hældning, kan du beregne den vandrede afstand, der er kørt som funktion af lodret afstand eller omvendt. Sig, at du kender, at du går op i en 4-procentig klasse. Hvis du går i 30 minutter, og din vandrette position ændres med en hastighed på 4 miles i timen, hvor meget højde har du opnået?
4 km / h i 30 minutter (1/2 time) er 2 miles, og hvis procentklassen er 4, er skråningen 4/100 = 0,04. Da hældningen stiger over løbet, og i dette tilfælde "løbet" er 2 miles, kan den lodrette forstærkning findes som følger:
begynde {justert} 0,04 & = frac {y} {2 ; {miles}} y & = 0,04 × 2 & = 0,08 ; {miles, eller omkring} & 0.08 ; {mi} × 5.280 ; {ft / mi} = 422 ; {ft} ende {justert}