Sådan beregnes CG

Indhold

• Sådan skriver du om Center for Gravity
• Sådan beregnes CG af en trekant
• Center of Gravity Formula for et rektangel
• Center for Gravity Equation
• Tricks til at finde centrum af tyngdekraften

Lad os antage et par parametre, inden vi tager tyngdepunktet. Den ene, at du har at gøre med et objekt der er på jordoverfladen, ikke ude i rummet et eller andet sted. Og to, at genstanden er rimelig lille - sige ikke et rumskib, der er parkeret på Jorden og venter på at tage af sted.Når alle disse udenjordiske påvirkninger er elimineret, er du i en fin position til at beregne tyngdepunktet for geometriske objekter ved hjælp af en relativt simpel formel - og faktisk på grund af disse forhold, der netop er indstillet, bruger du den samme formel til at finde tyngdepunktet som at finde massens centrum.

Sådan skriver du om Center for Gravity

Tyngdepunkt i et todimensionelt plan betegnes normalt med koordinaterne (x_cg, y_cg) eller nogle gange efter variablerne x og y med en bar over dem. Desuden er udtrykket "tyngdepunkt" undertiden forkortet til cg.

Sådan beregnes CG af en trekant

Din matematik- eller fysikbog har ofte diagrammer i den til bestemmelse af balance i visse figurer. Men for nogle almindelige geometriske figurer kan du bruge den passende form for tyngdepunkt til at finde det, der former tyngdepunktet.

For trekanter sidder tyngdepunktet på det sted, hvor alle tre medianer skærer hinanden. Hvis du starter ved det ene toppunkt i trekanten og derefter tegner en lige linje til midtpunktet på den anden side, det er en median. Gør det samme for de to andre hjørner, og det punkt, hvor alle tre medianer skærer hinanden, er trekantens tyngdepunkt.

Og selvfølgelig er der en formel til det. Hvis koordinaterne for trekanterne tyngdepunkt er (x_cg, y_cg), finder du dens koordinater således:

x_cg = (x₁ + x₂ + x₃) ÷ 3

y_cg = (y₁ + y₂ + y₃) ÷ 3

Hvor (x₁, y₁), (x₂, y₂) og (x₃, y₃) er koordinaterne for trekanterne tre højdepunkter. Du kommer til at vælge hvilket toppunkt der er tildelt hvilket nummer.

Center of Gravity Formula for et rektangel

Bemærkede du, at for at finde tyngdepunktet for en trekant, gennemsnit du blot værdien af ​​x-koordinaterne, gennemsnit derefter værdien af ​​y-koordinaterne og bruger de to resultater som koordinaterne for dit tyngdepunkt?

For at finde tyngdepunktet for et rektangel gør du nøjagtig den samme ting. Men for at gøre dine beregninger endnu nemmere skal du antage, at rektanglet er orienteret firkantet til et kartesisk koordinatplan (så det ikke er indstillet i en vinkel), og at dets nederste venstre hjørne er ved grafens oprindelse. I så fald at finde (x_cg, y_cg) for et rektangel er alt hvad du skal beregne:

x_cg = bredde ÷ 2

y_cg = højde ÷ 2

Hvis du ikke ønsker at flytte dit rektangel til koordinatplanets oprindelse, eller hvis det af en eller anden grund ikke er nøjagtigt kvadratisk med koordinatakslerne, kan du møde denne lidt skræmmende, men alligevel effektive formel til gennemsnit af alle dens x-koordinater for at finde værdien af ​​x_cg, og gennemsnit alle y-koordinater for at finde værdien af ​​y_cg:

x_cg = (x₁ + x₂ + x₃ + x₄) ÷ 4

y_cg = (y₁ + y₂ + y₃ + y₄) ÷ 4

Center for Gravity Equation

Hvad hvis du har brug for at beregne tyngdepunkt for en form, der passer til alle de antagelser, der først blev nævnt (dybest set, du prøver ikke at gøre bogstavelig raketvidenskab ved at finde tyngdepunktet for objekter i rummet), men det falder ikke ind i nogen af kategorierne netop nævnt eller ind i kortene bag på din bog? Derefter kan du opdele din form i mere kendte former og bruge følgende ligninger til at finde deres kollektive tyngdepunkt:

x_cg = (a₁x₁ + a₂x₂ +. . . + a_nx_n) ÷ (a₁ + a₂ +. . . + a_n)

y_cg = (a₁y₁ + a₂y₂ +. . . + a_ny_n) ÷ (a₁ + a₂ +. . . + a_n)

Eller for at sige det på en anden måde, x_cg svarer til området med sektion 1 gange dens placering på x-aksen, tilføjet til området med sektion 2 gange dens placering, og så videre, indtil du har tilføjet området gange placering af alle sektioner; del derefter det hele beløb med det samlede areal af alle sektioner. Så gør det samme for y.

Spørgsmål: Hvordan finder jeg området for hvert afsnit? Opdeling af din komplekse eller uregelmæssige form i mere kendte polygoner giver dig mulighed for at bruge standardiserede formler til at finde område. For eksempel, hvis du har opdelt denne form i rektangulære stykker, kan du bruge formelens længde × bredde til at finde arealet for hvert stykke.

Q: Hvad er "placeringen" for hvert afsnit? Placeringen af ​​hvert afsnit er den passende koordinat fra dette sektions tyngdepunkt. Så hvis du vil have y₂ (placeringen for segment 2), skal du faktisk angive y-koordinaten for det segment tyngdepunkt. Igen er det derfor, du opdeler et underligt formet objekt i mere kendte figurer, fordi du kan bruge de formler, der allerede er diskuteret, til at finde hver form for tyngdepunkt og derefter udtrække de relevante koordinater (er).

Sp .: Hvor går min form på koordinatplanet? Du kommer til at vælge, hvor din form sidder på koordinatplanet - bare husk, at dit svar tyngdepunkt vil være i forhold til det samme referencepunkt. Det er nemmest at placere dit objekt i den første kvadrant på din graf, med dens nederste kant mod x-aksen og venstre kant mod y-aksen, så alle x- og y-værdier er positive, men også små nok til at være håndterbare.

Tricks til at finde centrum af tyngdekraften

Hvis du har at gøre med et enkelt objekt, er intuition og en smule logik nogle gange alt hvad du behøver for at finde dens tyngdepunkt. For eksempel, hvis du overvejer en flad disk, vil tyngdepunktet være diskens centrum. I en cylinder er det midtpunktet på cylinderaksen. For et rektangel (eller firkant) er det det punkt, hvor de diagonale linjer konvergerer.

Du har måske bemærket et mønster her: Hvis det pågældende objekt har en symmetri linje, vil tyngdepunktet være på den linje. Og hvis den har flere symmetriakser, vil tyngdepunktet være, hvor disse akser krydser hinanden.

Endelig, hvis du prøver at finde tyngdepunktet for et virkelig komplekst objekt, har du to muligheder: Enten skal du piske dine bedste beregningsintegraler (se Ressourcer for et tredobbelt integral, der repræsenterer tyngdepunktet for en ikke-ensartet masse) eller indtast dine data i en specialbygget tyngdepunktregner. (Se Ressourcer for et eksempel på en tyngdepunktregner for radiostyrede fly.)