Sådan beregnes vinkelhastigheden

Indhold

• Det grundlæggende i bevægelse
• Angular Velocity Equation
• Rotationsbevægelsesligninger
• Relaterede mængder og udtryk
• Vinkelhastighed vs. lineær hastighed

I hverdagsdiskursen bruges ofte "hastighed" og "hastighed" om hverandre. I fysik har disse udtryk imidlertid specifikke og tydelige betydninger. "Hastighed" er hastigheden for forskydning af et objekt i rummet, og det gives kun med et tal med specifikke enheder (ofte i meter per sekund eller miles i timen). På den anden side er hastigheden en hastighed, der er koblet til en retning. Hastighed kaldes derefter en skalær mængde, hvorimod hastighed er en vektormængde.

Når en bil lynlås langs en motorvej eller en baseball suser gennem luften, måles disse genstands hastighed i forhold til jorden, mens hastigheden indeholder mere information. For eksempel, hvis du er i en bil, der kører 70 miles i timen på Interstate 95 på østkysten af ​​De Forenede Stater, er det også nyttigt at vide, om det er på vej nordøstligt mod Boston eller syd mod Florida. Med baseball vil du måske vide, om dens y-koordinat ændrer sig hurtigere end dens x-koordinat (en flyvekugle), eller om det modsatte er sandt (et liniedrev). Men hvad med omdrejningen af ​​dækkene eller rotationen (drejningen) af baseball, når bilen og kuglen bevæger sig mod deres ultimative destination? Til denne slags spørgsmål tilbyder fysik begrebet Vinkelhastighed.

Det grundlæggende i bevægelse

Ting bevæger sig gennem tredimensionelt fysisk rum på to hovedmåder: oversættelse og rotation. Oversættelse er forskydningen af ​​hele objektet fra et sted til et andet, som en bil, der kører fra New York City til Los Angeles. Rotation er på den anden side den cykliske bevægelse af et objekt omkring et fast punkt. Mange objekter, såsom baseball i ovenstående eksempel, udviser begge typer bevægelse på samme tid; når en flyvekugle bevæges gennem luften fra hjemmepladen mod udmarkens hegn, snurrer den også med en given hastighed omkring sit eget centrum.

Beskrivelsen af ​​disse to slags bevægelser behandles som separate fysiske problemer; det vil sige, når man beregner afstanden, hvor bolden kører gennem luften baseret på ting som den oprindelige startvinkel og den hastighed, hvormed den forlader flagermus, kan du ignorere dens rotation, og når du beregner dens rotation, kan du behandle den som at sidde i en sted til nuværende formål.

Angular Velocity Equation

For det første, når du taler om "vinklet" noget, det være sig hastighed eller anden fysisk mængde, skal du erkende, at fordi du har at gøre med vinkler, taler du om at rejse i cirkler eller dele deraf. Du kan huske fra geometri eller trigonometri, at omkredsen af ​​en cirkel er dens diameter gange den konstante pi, eller πd. (Værdien af ​​pi er ca. 3.14159.) Dette udtrykkes mere almindeligt i form af cirklernes radius r, som er halvdelen af ​​diameteren, hvilket gør omkredsen 2πr.

Derudover har du sandsynligvis lært et eller andet sted undervejs, at en cirkel består af 360 grader (360 °). Hvis du bevæger dig en afstand S langs en cirkel, er vinkelforskydningen equal lig med S / r. Én fuld revolution giver derefter 2πr / r, som bare efterlader 2π. Det betyder, at vinkler mindre end 360 ° kan udtrykkes som pi eller med andre ord som radianer.

Når du samler alle disse oplysninger, kan du udtrykke vinkler eller dele af en cirkel i andre enheder end grader:

360 ° = (2π) radianer, eller

1 radian = (360 ° / 2π) = 57,3 °,

Mens lineær hastighed udtrykkes i længde pr. Tidsenhed, måles vinkelhastigheden i radianer pr. Tidsenhed, normalt pr. Sekund.

Hvis du ved, at en partikel bevæger sig i en cirkulær bane med en hastighed v på afstand r fra midten af ​​cirklen med retning af v altid vinkelret på cirkelens radius, så kan vinkelhastigheden skrives

ω = v / r,

hvor ω er det græske bogstav omega. Vinkelhastighedsenheder er radianer i sekundet; du kan også behandle denne enhed som "gensidige sekunder", fordi v / r giver m / s divideret med m eller s^-1, hvilket betyder, at radianer teknisk set er en enhedsløs mængde.

Rotationsbevægelsesligninger

Vinkelaccelerationsformlen er afledt på samme væsentlige måde som vinkelhastighedsformlen: Det er kun den lineære acceleration i en retning vinkelret på en radius af cirklen (tilsvarende, dens acceleration langs en tangens til den cirkulære bane på ethvert punkt) delt ved radius af cirklen eller en del af en cirkel, som er:

a = a_t/ r

Dette gives også af:

a = ω / t

fordi for cirkulær bevægelse, a_t = ωr / t = v / t.

α, som du sandsynligvis ved, er det græske bogstav "alfa". Subskriptet "t" her betegner "tangent."

Dog underligt nok kan rotationsbevægelse prale af en anden form for acceleration, kaldet centripetal ("centralsøgende") acceleration. Dette gives ved udtrykket:

-en_c = v²/ r

Denne acceleration er rettet mod det punkt, hvor det pågældende objekt roterer. Dette kan virke underligt, da objektet ikke kommer nærmere dette centrale punkt siden radius r er fast. Tænk på centripetal acceleration som et frit fald, hvor der ikke er nogen fare for, at objektet rammer jorden, fordi kraften, der trækker objektet mod det (normalt tyngdekraft), nøjagtigt udlignes af den tangentielle (lineære) acceleration, der er beskrevet af den første ligning i dette afsnit. Hvis -en_c var ikke lig med -en_t, ville genstanden enten flyve ud i rummet eller hurtigt gå ned i midten af ​​cirklen.

Relaterede mængder og udtryk

Selvom vinkelhastighed normalt udtrykkes som nævnt i radianer pr. Sekund, kan der være tilfælde, hvor det foretrækkes eller nødvendigt at bruge grader pr. Sekund i stedet for eller omvendt at konvertere fra grader til radianer, før der løses et problem.

Sig, at du fik at vide, at en lyskilde roterer 90 ° hvert sekund med konstant hastighed. Hvad er dens vinkelhastighed i radianer?

Husk først, at 2π radianer = 360 °, og indstil en andel:

360 / 2π = 90 / x

360x = 180π

x = ω = π / 2

Svaret er halv pi radianer i sekundet.

Hvis du yderligere blev fortalt, at lysstrålen har en rækkevidde på 10 meter, hvad ville spidsen af ​​bjælkens lineære hastighed være v, dens vinkelacceleration α og dens centripetale acceleration -en_c?

At løse for v, ovenfra, v = ωr, hvor ω = π / 2 og r = 10m:

(π / 2) (10) = 5π rad / s = 15,7 m / s

At løse for α, tilføj blot en anden tidsenhed til nævneren:

a = 5π rad / s²

(Bemærk, at dette kun fungerer ved problemer, hvor vinkelhastigheden er konstant.)

Endelig, også ovenfra, a_c = v²/ r = (15,7)²/ 10 = 24,65 m / s².

Vinkelhastighed vs. lineær hastighed

Basér på det forrige problem, forestil dig dig selv på en meget stor merry-go-runde, en med en usandsynlig radius på 10 kilometer (10.000 meter). Denne glædelige runde gør en komplet revolution hvert 1. minut og 40 sekunder eller hvert 100 sekund.

En konsekvens af forskellen mellem vinkelhastighed, som er uafhængig af afstanden fra rotationsaksen, og lineær cirkulær hastighed, som ikke er, er, at to mennesker oplever det samme ω kan gennemgå en meget forskellig fysisk oplevelse. Hvis du tilfældigvis er 1 meter fra centrum, hvis denne formodede, massive merry-go-round, er din lineære (tangentielle) hastighed:

ωr = (2π rad / 100 s) (1 m) = 0,0628 m / s eller 6,29 cm (mindre end 3 inches) pr. sekund.

Men hvis du er på kanten af ​​dette monster, er din lineære hastighed:

ωr = (2π rad / 100 s) (10.000 m) = 628 m / s. Det er omkring 1.406 miles i timen, hurtigere end en kugle. Hæng i!