Indhold
En polygon er enhver lukket todimensionel figur med 3 eller flere lige (ikke buede) sider, og en 12-sidet polygon er kendt som en dodecagon. En regelmæssig dodecagon er en med lige sider og vinkler, og det er muligt at udlede en formel til beregning af dets areal. En uregelmæssig dodecagon har sider i forskellige længder og forskellige vinkler. En sekspeget stjerne er et eksempel. Der er ingen nem måde at beregne arealet af en uregelmæssig 12-sidet figur medmindre du tilfældigvis har det afbildet på en graf og kan læse koordinaterne for hver af hjørnene. Hvis ikke, er den bedste strategi at opdele figuren i regelmæssige former, som du kan beregne området for.
Beregning af området for en almindelig 12-sidet polygon
For at beregne arealet af en almindelig dodekagon skal du finde dens centrum, og den bedste måde at gøre det på er at skrive en cirkel rundt om den, der bare berører hver af dens toppuer. Centrets cirkel er dodekagonens centrum, og afstanden fra figurens centrum til hver af dens vertikater er simpelthen cirkelens radius (r). Hver af de 12 sider af figuren er af samme længde, så betegn dette med s.
Du har brug for endnu en måling, og det er længden af en vinkelret linje trukket fra midtpunktet på hver side til midten af den 12-sidede form. Denne linje kaldes apoten. Angiv dens længde med m. Det opdeler hvert afsnit dannet af radiuslinierne i to retvinklede trekanter. Du ved det ikke m, men du kan finde det ved hjælp af Pythagorean-sætningen.
De 12 radiuslinjer deler cirklen, du har skrevet rundt om dodecagon, i 12 lige store sektioner, så i midten af figuren er vinklen på hver linje med den ved siden af den 30 grader. Hver af de 12 sektioner, der er dannet af radiuslinjerne, består af et par retvinklede trekanter med hypotenuse r og en vinkel på 15 grader. Den side, der støder op til vinklen er m, så du kan finde det ved hjælp af r og vinklen.
synd (15) = m/r, og løse for m
m = r × synd (15)
Du kan nu finde området for hver af ensartede trekanter, der er indskrevet i dodecagon, fordi du kender længden af basen - som er s - og højden, m. Arealet af hver trekant er 1/2 × base × højde
= 1/2 × s × m
= 1/2 × (s × r × synd (15))
Der er 12 sådanne sektioner, så gang med 12 for at finde det samlede areal af den almindelige 12-sidede form:
Område med almindelig dodekagon = 6 × (s × r × synd (15))
Finde området med en uregelmæssig Dodecagon
Der er ingen formel til at finde arealet af en uregelmæssig dodecagon, da siderne og vinklerne ikke er ens. Det er endda vanskeligt at finde centrum. Den bedste strategi er at opdele figuren i regelmæssige former, beregne arealet for hver enkelt og tilføje dem.
Hvis formen er afbildet på en graf, og du kender koordinaterne for toppunktene, er der en formel, du kan bruge til at beregne areal. Hvis hvert punkt (n) er defineret af (xn, yn), og du går rundt i figuren i rækkefølge, enten med uret eller mod uret, for at få en serie på 12 point, området er:
Område = | (x1y2 − y1x2) + (x2y3 − y2x3) ... + (x11y12 − y11x12) +(x12y1 − y12x1)| ÷ 2.