Indhold
Absolutte værdi ligninger kan være lidt skræmmende i starten, men hvis du holder på det, vil du snart løse dem let. Når du prøver at løse ligninger med absolut værdi, hjælper det med at holde betydningen af absolut værdi i tankerne.
Definition af absolut værdi
Det absolut værdi af et tal x, skrevet | x |, er dens afstand fra nul på en talelinje. For eksempel er −3 3 enheder væk fra nul, så den absolutte værdi af −3 er 3. Vi skriver det sådan: | −3 | = 3.
En anden måde at tænke over det er absolut værdi er den positive "version" af et tal. Så den absolutte værdi af −3 er 3, mens den absolutte værdi på 9, som allerede er positiv, er 9.
Algebraisk kan vi skrive a formel til absolut værdi der ser sådan ud:
| x | = x, hvis x ≥ 0,
= −x, hvis x ≤ 0.
Tag et eksempel hvor x = 3. Da 3 ≥ 0, er den absolutte værdi af 3 3 (i notering af absolut værdi, det er: | 3 | = 3).
Hvad nu, hvis x = −3? Det er mindre end nul, så | −3 | = - (−3). Det modsatte eller "negative" af −3 er 3, så | −3 | = 3.
Løsning af absolutte værdi ligninger
Nu for nogle absolutte værdiligninger. De generelle trin til løsning af en ligning med absolut værdi er:
Isoler udtrykket af absolut værdi.
Løs den positive "version" af ligningen.
Løs den negative "version" af ligningen ved at multiplicere mængden på den anden side af ligetegnet med −1.
Se på nedenstående problem for at få et konkret eksempel på trinnene.
Eksempel: Løs ligningen for x: | 3 + x | − 5 = 4 .
Du skal få | 3 + x | af sig selv på venstre side af det lige tegn. For at gøre dette skal du tilføje 5 til begge sider:
| 3 + x | − 5 (+ 5) = 4 (+ 5)
| 3 + x | = 9.
Løs for x som om tegn på absolut værdi ikke var der!
| 3 + x | = 9 → 3 + x = 9
Det er let: Trækk bare 3 fra begge sider.
3 + x ( −3) = 9 ( −3)
x = 6
Så en løsning på ligningen er den x = 6.
Start igen ved | 3 + x | = 9. Algebraen i det forrige trin viste det x kunne være 6. Men da dette er en ligeværdi med absolut værdi, er der en anden mulighed at overveje. I ligningen ovenfor er den absolutte værdi af "noget" (3 + x) svarer til 9. Ja, den absolutte værdi af positive 9 er 9, men der er også en anden mulighed her! Den absolutte værdi af −9 er også lig med 9. Så det ukendte "noget" kunne også svare til −9.
Med andre ord: 3 + x = −9.
Den hurtige måde at nå frem til denne anden version er at multiplicere mængden på den anden side af ækvivalenterne fra den absolutte værdiudtryk (9, i dette tilfælde) med −1, og derefter løse ligningen derfra.
Så: | 3 + x | = 9 → 3 + x = 9 × ( −1)
3 + x = −9
Træk 3 fra begge sider for at få:
3 + x ( −3) = −9 ( −3)
x = −12
Så de to løsninger er: x = 6 eller x = −12.
Og der har du det! Disse former for ligninger tager praksis, så bekymre dig ikke, hvis du kæmper i starten. Hold på det, og det bliver lettere!