Sådan finder man rødderne fra et polynom

Indhold

• Hvor mange rødder?
• Advarsler
• Find rødder ved faktorering: Eksempel 1
• Find rødder ved faktorering: Eksempel 2
• Find rødder ved tegning

Rødderne til et polynom kaldes også dets nuller, fordi rødderne er x værdier, hvor funktionen er lig med nul. Når det kommer til at finde rødderne, har du flere teknikker til rådighed; factoring er den metode, du bruger mest ofte, selvom grafering også kan være nyttig.

Hvor mange rødder?

Undersøg den højeste grad af polynomet - det vil sige udtrykket med den højeste eksponent. Denne eksponent er hvor mange rødder polynomet har. Så hvis den højeste eksponent i dit polynom er 2, har den to rødder; Hvis den højeste eksponent er 3, har den tre rødder; og så videre.

Advarsler

Find rødder ved faktorering: Eksempel 1

Den mest alsidige måde at finde rødder på er at fakturere dit polynom så meget som muligt og derefter indstille hvert udtryk lig med nul. Dette giver meget mere mening, når du har fulgt et par eksempler. Overvej det enkle polynom x² - 4_x: _

En kort undersøgelse viser, at du kan faktorere x ud fra begge udtryk for polynomet, hvilket giver dig:

x(x – 4)

Indstil hver sigt til nul. Det betyder at løse for to ligninger:




x = 0 er den første term, der er indstillet til nul, og

x - 4 = 0 er den anden sigt indstillet til nul.

Du har allerede løsningen til den første periode. Hvis x = 0, så er hele udtrykket lig med nul. Så x = 0 er en af ​​rødderne eller nulene til polynomet.

Nu skal du overveje den anden periode og løse for x. Hvis du tilføjer 4 til begge sider, har du:

x - 4 + 4 = 0 + 4, som forenkler til:

x = 4. Så hvis x = 4, så er den anden faktor lig med nul, hvilket betyder, at hele polynomet også er lig med nul.

Fordi det originale polynom var af anden grad (den højeste eksponent var to), ved du, at der kun er to mulige rødder til dette polynom. Du har allerede fundet dem begge, så alt hvad du skal gøre er at liste dem:

x = 0, x = 4

Find rødder ved faktorering: Eksempel 2

Her er endnu et eksempel på, hvordan man finder rødder ved factoring ved hjælp af en smule algebra undervejs. Overvej polynomet x⁴ - 16. Et hurtigt kig på dets eksponenter viser dig, at der skal være fire rødder til dette polynom; nu er det tid til at finde dem.

Bemærkede du, at dette polynom kan omskrives som forskellen på firkanter? Så i stedet for x⁴ - 16, du har:

(x²)² – 4²

Hvilket ved hjælp af formlen for forskellen på firkanter faktorer ud til følgende:

(x² – 4)(x² + 4)

Den første periode er igen en forskel på firkanter. Så selvom du ikke kan faktorere udtrykket til højre længere, kan du faktorere udtrykket til venstre et trin mere:

(x – 2)(x + 2)(x² + 4)

Nu er det tid til at finde nuller. Det bliver hurtigt klart, at hvis x = 2, den første faktor er lig med nul, og dermed vil hele udtrykket være lig med nul.

Tilsvarende, hvis x = -2, den anden faktor er lig med nul og således vil hele udtrykket også være.

Så x = 2 og x = -2 er begge nuller eller rødder af dette polynom.

Men hvad med det sidste valgperiode? Fordi den har en "2" eksponent, bør den have to rødder. Men du kan ikke faktor dette udtryk ved hjælp af de rigtige tal, du er vant til. Du skal bruge et meget avanceret matematisk koncept kaldet imaginære tal eller, hvis du foretrækker, komplekse tal. Det er langt uden for din nuværende matematikpraksis, så det er i øjeblikket nok til at bemærke, at du har to rigtige rødder (2 og -2), og to imaginære rødder, som du vil forlade udefineret.

Find rødder ved tegning

Du kan også finde, eller i det mindste estimere, rødder ved at tegne graf. Hver rod repræsenterer et sted, hvor grafen for funktionen krydser x akse. Så hvis du tegner linjen og derefter noterer x koordinater, hvor linjen krydser x akse, kan du indsætte det estimerede x værdier for disse punkter i din ligning, og kontroller, om du har fået dem korrekt.

Overvej det første eksempel, du arbejdede for polynomet x² - 4_x_. Hvis du trækker det forsigtigt ud, ser du, at linjen krydser x akse ved x = 0 og x = 4. Hvis du indtaster hver af disse værdier i den originale ligning, får du:

0² - 4 (0) = 0, så x = 0 var en gyldig nul eller rod for dette polynom.

4² - 4 (4) = 0, så x = 4 er også en gyldig nul eller rod til dette polynom. Og fordi polynomet var i grad 2, ved du, at du kan stoppe med at passe på at finde to rødder.