Indhold
- Definition af uoverensstemmelse i absolut værdi
- Sådan løses en ulighed i absolut værdi
- Absolutte værdiansvigheder uden løsning
- Intervallnotation
Det er meget som at løse absolutte værdiligninger, men der er et par ekstra detaljer at huske på. Det hjælper med at allerede være komfortabel med at løse ligninger med absolut værdi, men det er okay, hvis du også lærer dem sammen!
Definition af uoverensstemmelse i absolut værdi
Først og fremmest en ulighed i absolut værdi er en ulighed, der involverer en absolut værdiudtryk. For eksempel,
| 5 + x | - 10> 6 er en absolut værdi-ulighed, fordi den har et ulighedstegn,> og et absolut værdiudtryk, | 5 + x |.
Sådan løses en ulighed i absolut værdi
Det skridt til at løse en absolut værdiforhold i ulighed er meget som trinnene til løsning af en ligning med absolut værdi:
Trin 1: Isoler den absolutte værdiudtryk på den ene side af uligheden.
Trin 2: Løs den positive "version" af uligheden.
Trin 3: Løs den negative "version" af uligheden ved at multiplicere mængden på den anden side af uligheden med −1 og vende ulighedstegnet.
Det er meget at tage på én gang, så her er et eksempel, der vil lede dig gennem trinnene.
Løs uligheden for x: | 5 + 5_x_ | - 3> 2.
For at gøre dette, få | 5 + 5_x_ | i sig selv på venstre side af uligheden. Alt hvad du skal gøre er at tilføje 3 til hver side:
| 5 + 5_x_ | - 3 (+ 3)> 2 (+ 3)
| 5 + 5_x_ | > 5.
Nu er der to "versioner" af den ulighed, som vi har brug for at løse: den positive "version" og den negative "version".
For dette trin skal du antage, at tingene er som de ser ud: at 5 + 5_x_> 5.
| 5 + 5_x_ | > 5 → 5 + 5_x_> 5.
Dette er en simpel ulighed; du skal bare løse for x som sædvanligt. Træk 5 fra begge sider, og del derefter begge sider med 5.
5 + 5_x_> 5
5 + 5_x_ (- 5)> 5 (- 5) (trække fem fra begge sider)
5_x_> 0
5_x_ (÷ 5)> 0 (÷ 5) (divider begge sider med fem)
x > 0.
Ikke dårligt! Så en mulig løsning på vores ulighed er den x > 0. Da der er absolutte værdier involveret, overvejer dets tid en anden mulighed.
For at forstå denne næste bit hjælper det med at huske, hvad absolut værdi betyder. Absolut værdi måler et talafstand fra nul. Afstand er altid positiv, så 9 er ni enheder væk fra nul, men −9 er også ni enheder væk fra nul.
Så | 9 | = 9, men | −9 | = 9 også.
Nu tilbage til problemet ovenfor. Ovenstående arbejde viste, at | 5 + 5_x_ | > 5; med andre ord, den absolutte værdi af "noget" er større end fem. Nu vil ethvert positivt antal større end fem være længere væk fra nul end fem er. Så den første mulighed var, at "noget", 5 + 5_x_, er større end 5.
Det vil sige: 5 + 5_x_> 5.
Det er scenariet, der er behandlet ovenfor, i trin 2.
Tænk nu lidt videre. Hvad ellers er fem enheder væk fra nul? Nå, negativ fem er. Og alt videre langs talelinjen fra negativ fem vil være endnu længere væk fra nul. Så vores "noget" kan være et negativt tal, der er længere væk fra nul end negativ fem. Det betyder, at det ville være et større klingende nummer, men teknisk Mindre end negativ fem, fordi det bevæger sig i den negative retning på talelinjen.
Så vores "noget", 5 + 5x, kan være mindre end −5.
5 + 5_x_ <−5
Den hurtige måde at gøre dette algebraisk på er at multiplicere mængden på den anden side af uligheden, 5, med en negativ, og derefter vende ulighedstegnet:
| 5 + 5x | > 5 → 5 + 5_x_ <- 5
Løs derefter som normalt.
5 + 5_x_ <-5
5 + 5_x_ (−5) <−5 (- 5) (træk 5 fra begge sider)
5_x_ <−10
5_x_ (÷ 5) <−10 (÷ 5)
x < −2.
Så de to mulige løsninger på uligheden er x > 0 eller x <−2. Kontroller dig selv ved at tilslutte et par mulige løsninger for at sikre dig, at uligheden stadig gælder.
Absolutte værdiansvigheder uden løsning
Der er et scenarie, hvor det ville være ingen løsninger på en absolut værdiulighed. Da absolutte værdier altid er positive, kan de ikke være lig med eller mindre end negative tal.
Så | x | <−2 har ingen løsning fordi resultatet af et absolut værdiudtryk skal være positivt.
Intervallnotation
At skrive løsningen på vores vigtigste eksempel i interval notation, tænk over, hvordan løsningen ser ud på talelinjen. Vores løsning var x > 0 eller x <−2. På en talelinje, det er en åben prik ved 0, med en linje, der strækker sig ud til positiv uendelighed, og en åben prik på −2, med en linje, der strækker sig væk til negativ uendelig. Disse løsninger peger væk fra hinanden, ikke mod hinanden, så tag hvert stykke hver for sig.
For x> 0 på en talelinje er der et åbent punkt ved nul og derefter en linje, der strækker sig ud til uendelig. I intervallotation illustreres en åben prik med parenteser, (), og en lukket prik, eller uligheder med ≥ eller ≤, ville bruge parenteser. Så for x > 0, skriv (0, ∞).
Den anden halvdel, x <−2, på en talelinje er et åbent punkt ved −2 og derefter en pil, der strækker sig hele vejen til −∞. I intervallotation, thats (−∞, −2).
"Eller" i intervalnotation er fagforeningstegnet, ∪.
Så løsningen i intervalnotation er (−∞, −2) ∪ (0, ∞).