Euklidisk afstand er afstanden mellem to punkter i det euklidiske rum. Euklidisk rum blev oprindeligt udtænkt af den græske matematiker Euclid omkring 300 f.Kr. at studere forholdet mellem vinkler og afstande. Dette geometri-system bruges stadig i dag og er det, som gymnasieelever studerer oftest. Euklidisk geometri gælder specifikt for mellemrum med to og tre dimensioner. Det kan dog let generaliseres til dimensioner af højere orden.
Beregn den euklidiske afstand for en dimension. Afstanden mellem to punkter i en dimension er simpelthen den absolutte værdi af forskellen mellem deres koordinater. Matematisk vises dette som | p1 - q1 | hvor p1 er den første koordinat for det første punkt og q1 er den første koordinat for det andet punkt. Vi bruger den absolutte værdi af denne forskel, da afstand normalt ikke anses for at have en ikke-negativ værdi.
Tag to punkter P og Q i todimensionelt euklidisk rum. Vi beskriver P med koordinaterne (p1, p2) og Q med koordinaterne (q1, q2). Konstruer nu et linjesegment med endepunkterne for P og Q. Dette linjesegment danner hypotenusen til en højre trekant. Ved at udvide resultaterne opnået i trin 1 bemærker vi, at længderne på benene i denne trekant er angivet ved | p1 - q1 | og | p2 - q2 |. Afstanden mellem de to punkter gives derefter som længden på hypotenusen.
Brug Pythagorean-sætningen til at bestemme længden på hypotenusen i trin 2. Denne teorem siger, at c ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2, hvor c er længden af en højre trekantet hypotenuse og a, b er længderne af den anden to ben. Dette giver os c = (a ^ 2 + b ^ 2) ^ (1/2) = ((p1 - q1) ^ 2 + (p2 - q2) ^ 2) ^ (1/2). Afstanden mellem 2 punkter P = (p1, p2) og Q = (q1, q2) i todimensionelt rum er derfor ((p1 - q1) ^ 2 + (p2 - q2) ^ 2) ^ (1/2).
Udvid resultaterne fra trin 3 til tredimensionelt rum. Afstanden mellem punkterne P = (p1, p2, p3) og Q = (q1, q2, q3) kan derefter gives som ((p1-q1) ^ 2 + (p2-q2) ^ 2 + (p3-q3) ^ 2) ^ (1/2).
Generaliserer løsningen i trin 4 for afstanden mellem to punkter P = (p1, p2, ..., pn) og Q = (q1, q2, ..., qn) i n dimensioner. Denne generelle løsning kan gives som ((p1-q1) ^ 2 + (p2-q2) ^ 2 + ... + (pn-qn) ^ 2) ^ (1/2).