Indhold
En binomial fordeling beskriver en variabel X, hvis 1) der er et fast tal n observationer af variablen 2) alle observationer er uafhængige af hinanden; 3) sandsynligheden for succes p er den samme for hver observation; og 4) hver observation repræsenterer et af nøjagtigt to mulige resultater (deraf ordet "binomial" - tænk "binært"). Denne sidste kvalifikation adskiller binomiale fordelinger fra Poisson-fordelinger, som varierer kontinuerligt snarere end diskret.
En sådan distribution kan skrives B (n, p).
Beregning af sandsynligheden for en given observation
Lad os sige, at en værdi k ligger et sted langs grafen for den binomiale fordeling, som er symmetrisk omkring middel np. For at beregne sandsynligheden for, at en observation har denne værdi, skal denne ligning løses:
P (X = k) = (n: k) pk(1-p)(N-k)
hvor (n: k) = (n!) ÷ (k!) (n - k)!
Det "!" betegner en faktorfunktion, f.eks. 27! = 27 x 26 x 25 x ... x 3 x 2 x 1.
Eksempel
Lad os sige, at en basketballspiller tager 24 frikast og har en etableret succesrate på 75 procent (p = 0,75). Hvad er chancerne for, at hun rammer nøjagtigt 20 af sine 24 skud?
Beregn først (n: k) som følger:
(n!) ÷ (k!) (n - k)! = 24! ÷ (20!) (4!) = 10,626
pk = (0.75)20 = 0.00317
(1-p) (N-k) = (0.25)4 = 0.00390
Således er P (20) = (10,626) (0,00317) (0,00390) = 0,1314.
Denne spiller har derfor en 13,1 procents chance for at lave nøjagtigt 20 ud af 24 frikast, i tråd med hvad intuition kan antyde om en spiller, der normalt ville slå 18 ud af 24 frikast (på grund af hendes etablerede succesrate på 75 procent).