Sådan faktoreres polynomier med brud

Indhold

• Polynomer med fraktioner defineret
• Grundlæggende om factoring - Distributiv ejendom og FOIL-metode
• Trin, der skal tages, når man overvejer polynomiske fraktioner
• Evaluering af ligninger via partiel fraktionsnedbrydning
• Forenkle nævneren
• Omarrangér tælleren

Den bedste måde at faktorere polynomer med fraktioner begynder med at reducere fraktionerne til enklere termer. Polynomier repræsenterer algebraiske udtryk med to eller flere udtryk, mere specifikt summen af ​​flere udtryk, der har forskellige udtryk for den samme variabel. Strategier, der hjælper med at forenkle polynomier, involverer udregning af den største fælles faktor, efterfulgt af gruppering af ligningen i dens laveste vilkår. Det samme gælder, selv når polynomier løses med fraktioner.

Polynomer med fraktioner defineret

Du har tre måder, hvorpå du kan se sætningen polynomier med fraktioner. Den første fortolkning vedrører polynomer med fraktioner for koefficienter. I algebra defineres koefficienten som antallet af mængder eller konstant, der findes før en variabel. Med andre ord er koefficienterne for 7a, b og (1/3) c henholdsvis 7, 1 og (1/3). To eksempler på polynomer med fraktionskoefficienter ville derfor være:

(1/4) x² + 6x + 20 samt x² + (3/4) x + (1/8).

Den anden fortolkning af "polynomier med fraktioner" henviser til polynomier, der findes i fraktions- eller forholdsform med en tæller og en nævner, hvor tællerens polynom divideres med nævnerens polynom. For eksempel illustreres denne anden fortolkning af:

(x² + 7x + 10) ÷ (x² + 11x + 18)

Den tredje fortolkning vedrører i mellemtiden delvis fraktionsnedbrydning, også kendt som delvis fraktion af eksponering. Nogle gange er polynomiale fraktioner komplekse, så når de "nedbrydes" eller "opdeles" i enklere termer, præsenteres de som summer, forskelle, produkter eller kvoter af polynomfraktioner. For at illustrere den komplekse polynomfraktion af (8x + 7) ÷ (x² + x - 2) evalueres ved partiel fraktionsnedbrydning, som i øvrigt involverer fabrikering af polynomer, for at være + i enkleste form.

Grundlæggende om factoring - Distributiv ejendom og FOIL-metode

Faktorer repræsenterer to tal, der, når de multipliceres sammen, svarer til et tredje tal. I algebraiske ligninger bestemmer factoring hvilke to mængder, der blev multipliceret sammen for at nå frem til et givet polynom. Den fordelende egenskab følges stærkt, når polynomier multipliceres. Den fordelende egenskab tillader i det væsentlige en at multiplicere en sum ved at multiplicere hvert nummer individuelt, før produkterne tilføjes. Se f.eks. Hvordan den distribuerende ejendom anvendes i eksemplet med:

7 (10x + 5) for at nå frem til binomialet på 70x + 35.

Men hvis to binomialer multipliceres sammen, bruges en udvidet version af den distribuerende egenskab via FOIL-metoden. FOIL repræsenterer forkortelsen for første, ydre, indre og sidste vilkår multipliseres. Derfor indbefatter faktorisering af polynomer udførelse af FOIL-metoden baglæns. Tag de to ovennævnte eksempler med polynomerne indeholdende fraktionskoefficienter. Udførelse af FOIL-metode baglæns på hver af dem resulterer i faktorerne:

((1/2) x + 2) ((1/2) x + 10) for det første polynom og faktorerne for:

(x + (1/4)) (x + (1/2)) for det andet polynom.

Eksempel: (1/4) x² + 6x + 20 = ((1/2) x + 2) ((1/2) x + 10)

Eksempel: x² + (3/4) x + (1/8) = (x + (1/4)) (x + (1/2))

Trin, der skal tages, når man overvejer polynomiske fraktioner

Fra oven involverer polynomiale fraktioner et polynom i tælleren divideret med et polynom i nævneren. Evaluering af polynomiale fraktioner nødvendiggør således faktorering af tællerens polynom først efterfulgt af faktorering af nævnerens polynom. Det hjælper med at finde den største fælles faktor, eller GCF, mellem tælleren og nævneren. Når først GCF for både tælleren og nævneren er fundet, annulleres den, hvilket til sidst reducerer hele ligningen til forenklede udtryk. Overvej det originale polynom fraktionseksempel ovenfor

(x² + 7x + 10) ÷ (x²+ 11x + 18).

Faktorering af tælleren og nævnerens polynomer for at finde GCF-resultaterne i:

÷, hvor GCF er (x + 2).

GCF i både tælleren og nævneren annullerer hinanden for at give det endelige svar i de laveste termer af (x + 5) ÷ (x + 9).

Eksempel:

x² + 7x + 10 (x + 2)(x + 5) (x + 5)

__ = ___ = __

x²+ 11x + 18 (x + 2)(x + 9) (x + 9)

Evaluering af ligninger via partiel fraktionsnedbrydning

Delvis fraktion af nedbrydning, som involverer factoring, er en måde at omskrive komplekse polynomfraktionsligninger til en enklere form. Gennemgang af eksemplet ovenfra af

(8x + 7) ÷ (x² + x - 2).

Forenkle nævneren

Forenkler nævneren for at få: (8x + 7) ÷.

8x + 7 8x + 7

__ = __

x² + x - 2 (x + 2) (x - 1)

Omarrangér tælleren

Herefter skal du omarrangere tælleren, så den begynder at have GCF'erne til stede i nævneren for at få:

(3x + 5x - 3 + 10) ÷, der udvides yderligere til {(3x - 3) ÷} + {(5x + 10) ÷}.

8x + 7 3x + 5x - 3 + 10 3x - 3 5x + 10

____ = ___ = ______ +

(x + 2) (x - 1) (x + 2) (x - 1) (x + 2) (x - 1) (x + 2) (x - 1)

For det venstre tilføjelse er GCF (x - 1), mens for det højre tilføjelse er GCF (x + 2), der annullerer i tælleren og nævneren, som det ses i {+}.

3x - 3 5x + 10 3(x - 1) 5(x + 2)

___ + __ = ___ +

(x + 2) (x - 1) (x + 2) (x - 1) (x + 2)(x - 1) (x + 2)(x - 1)

Når GCF'erne annullerer, er det endelige forenklede svar derfor +:

3 5

__ + __ som opløsningen af ​​den partielle fraktionsnedbrydning.

x + 2 x - 1