Indhold
Forandringshastigheder vises overalt i videnskaben, og især i fysik gennem mængder som hastighed og acceleration. Derivater beskriver ændringshastigheden for en mængde i forhold til en anden matematisk, men beregningen af dem kan undertiden være kompliceret, og du får måske en graf frem for en funktion i ligningsform. Hvis du får præsenteret en graf over en kurve og er nødt til at finde derivatet derfra, er du muligvis ikke i stand til at være så nøjagtig som med en ligning, men du kan nemt foretage et solidt skøn.
TL; DR (for lang; læste ikke)
Vælg et punkt på grafen for at finde værdien af derivatet på.
Tegn en lige linje tangens til grafens kurve på dette punkt.
Tag hældningen for denne linje for at finde værdien af derivatet på det valgte punkt på grafen.
Hvad er et derivat?
Uden for den abstrakte ramme om at differentiere en ligning er du måske lidt forvirret over, hvad et derivat virkelig er. I algebra er et derivat af en funktion en ligning, der fortæller dig værdien af "hældningen" af funktionen på ethvert tidspunkt. Med andre ord fortæller det dig, hvor meget den ene mængde ændrer sig i betragtning af en lille ændring i den anden. På en graf fortæller gradienten eller hældningen på linjen, hvor meget den afhængige variabel (placeret på y-ax) ændres med den uafhængige variabel (på x-akse).
For lige liniegrafer bestemmer du den (konstante) ændringshastighed ved at beregne grafens hældning. Forhold, der er beskrevet af kurver, er ikke så lette at håndtere, men princippet om, at derivatet bare betyder skråningen (på det specifikke punkt), gælder stadig.
For forhold, der er beskrevet af kurver, har derivatet en anden værdi på hvert punkt langs kurven. For at estimere det afledte af grafen skal du vælge et punkt at tage derivatet på. For eksempel, hvis du har en graf, der viser afstand, der er kørt mod tiden, på en lige linje, vil skråningen fortælle dig den konstante hastighed. For hastigheder, der ændrer sig med tiden, ville grafen være en kurve, men en lige linje, der bare berører kurven på et punkt (en linje tangentiel til kurven) repræsenterer ændringshastigheden på det specifikke punkt.
Vælg et sted, du har brug for at kende derivatet på. Brug det tilbagelagte afstand vs. tidseksempel til at vælge det tidspunkt, hvor du vil vide kørehastigheden. Hvis du har brug for at kende hastigheden på flere forskellige punkter, kan du køre gennem denne proces for hvert enkelt punkt. Hvis du vil vide hastigheden 15 sekunder efter bevægelsens start, skal du vælge stedet på kurven ved 15 sekunder på x-akse.
Tegn en linje tangentiel til kurven på det punkt, du er interesseret i. Tag dig god tid, når du gør dette, fordi det er den vigtigste og mest udfordrende del af processen. Dit estimat vil være bedre, hvis du tegner en mere nøjagtig tangentlinie. Hold en lineal op til punktet på kurven, og juster dens retning, så den linje, du tegner, vil kun tryk på kurven på det eneste punkt, du er interesseret i.
Tegn din linje, så længe grafen tillader det. Sørg for, at du nemt kan læse to værdier for begge x og y koordinater, en nær starten af din linje og en nær slutningen. Du behøver ikke absolut at tegne en lang streg (teknisk set er enhver lige linje egnet), men længere linier har en tendens til at være lettere at måle hældningen på.
Find to steder på din linje, og skriv en note af x og y koordinater for dem. Forestil dig for eksempel din tangentlinie som to bemærkelsesværdige steder på x = 1, y = 3 og x = 10, y = 30, som du kan kalde punkt 1 og punkt 2. Brug af symbolerne x1 og y1 at repræsentere koordinaterne for det første punkt og x2 og y2 at repræsentere koordinaterne for det andet punkt, skråningen m gives af:
m = (y2 - y1) ÷ (x2 – x1)
Dette fortæller dig afledningen af kurven på det punkt, hvor linjen berører kurven. I eksemplet x1 = 1, x2 = 10, y1 = 3 og y2 = 30, så:
m = (30 – 3) ÷ (10 – 1)
= 27 ÷ 9
= 3
I eksemplet ville dette resultat være hastigheden på det valgte punkt. Så hvis x-aksen blev målt i sekunder, og y-aksen blev målt i meter, resultatet ville betyde, at det pågældende køretøj kørte med 3 meter pr. sekund. Uanset den specifikke mængde, du beregner, er processen med at estimere derivatet den samme.