Indhold
Evnen til at beregne gennemsnittet eller middelværdien af en gruppe af numre er vigtig i alle aspekter af livet. Hvis du er en professor, der tildeler bogstavkarakterer til eksamensresultater og traditionelt giver en karakter af B- til en midt-i-pakken-score, skal du helt klart vide, hvordan midten af pakken ser numerisk ud. Du har også brug for en måde at identificere scores som outliers, så du kan bestemme, hvornår nogen fortjener en A eller A + (uden for perfekte scoringer, åbenlyst), såvel som hvad der fortjener en manglende karakter.
Af denne og beslægtede grunde inkluderer komplette data om gennemsnit oplysninger om, hvor tæt de er samlet omkring den gennemsnitlige score, som scorerne generelt er. Denne information formidles ved hjælp af standardafvigelse og i relation hertil varians af en statistisk prøve.
Målinger af variation
Du har næsten helt sikkert hørt eller set udtrykket "gennemsnit" brugt som reference til et sæt numre eller datapunkter, og du har sandsynligvis en idé om, hvad det oversættes til i hverdagens sprog. Hvis du f.eks. Læser, at en amerikansk kvindes gennemsnitlige højde er ca. 5 4 ", konkluderer du straks, at" gennemsnit "betyder" typisk ", og at omkring halvdelen af kvinderne i USA er højere end dette, mens ca. halvdelen er kortere.
Matematisk er gennemsnit og middel nøjagtigt det samme: Du tilføjer værdierne i et sæt og deler med antallet af poster i sættet. For eksempel, hvis en gruppe på 25 scorer i et 10-spørgsmålstestområde fra 3 til 10 og tilføjer op til 196, er den gennemsnitlige (gennemsnitlige) score 196/25 eller 7,84.
Medianen er midtpunktværdien i et sæt, antallet af, at halvdelen af værdierne ligger over, og halvdelen af værdierne ligger under. Det er normalt tæt på gennemsnittet (gennemsnit), men er ikke den samme ting.
Variansformel
Hvis du øje med et sæt på 25 scoringer som dem ovenfor og ser næsten intet andet end værdier på 7, 8 og 9, giver det intuitiv mening, at gennemsnittet skal være omkring 8. Men hvad nu hvis du ser næsten intet andet end scoringer på 6 og 10 ? Eller fem scoringer på 0 og 20 scoringer på 9 eller 10? Alle disse kan producere det samme gennemsnit.
Variance er et mål for, hvor vidt punkterne i et datasæt er spredt omkring middelværdien. For at beregne varians manuelt tager du den aritmetiske forskel mellem hvert af datapunkterne og gennemsnittet, firkanter dem, tilføjer summen af kvadraterne og deler resultatet med et mindre end antallet af datapunkter i prøven. Et eksempel på dette gives senere. Du kan også bruge programmer som Excel eller websteder som hurtige tabeller (se Ressourcer for yderligere websteder).
Variansen betegnes med σ2, en græsk "sigma" med en eksponent på 2.
Standardafvigelse
Standardafvigelsen for en prøve er simpelthen kvadratroten af variansen. Årsagen kvadrater bruges, når beregning af varians er, at hvis du blot tilføjer de individuelle forskelle mellem gennemsnittet og hvert individuelt datapunkt, er summen altid nul, fordi nogle af disse forskelle er positive, og nogle er negative, og de annullerer hinanden . At kvadrere hver sigt fjerner denne faldgrube.
Eksempelvariant og standardafvigelsesproblem
Antag, at du får de 10 datapunkter:
4, 7, 10, 5, 7, 6, 9, 8, 5, 9
Find gennemsnittet, variansen og standardafvigelsen.
Først skal du tilføje de 10 værdier sammen og dele med 10 for at få gennemsnittet (gennemsnit):
70/10 = 7.0
For at få variansen skal du kvadratere forskellen mellem hvert datapunkt og gennemsnittet, tilføje disse sammen og dele resultatet med (10 - 1) eller 9:
9 + 0 + 9 + . . . + 4 = 36
σ2= 36/9 = 4.0
Standardafvigelsen σ er bare kvadratroten på 4,0 eller 2,0.