Indhold
Nogle gange er "eksponentiel vækst" bare en tale, en henvisning til alt, hvad der vokser urimeligt eller utroligt hurtigt. Men i visse tilfælde kan du bogstaveligt talt tage ideen om eksponentiel vækst. For eksempel kan en population af kaniner vokse eksponentielt, efterhånden som hver generation spredes, så deres afkom spredes osv. Erhvervsmæssig eller personlig indkomst kan også vokse eksponentielt. Når du blev bedt om at foretage reelle beregninger af eksponentiel vækst, arbejder du med tre oplysninger: Startværdi, væksthastighed (eller forfald) og tid.
TL; DR (for lang; læste ikke)
TL; DR (for lang; læste ikke)
Brug formlen til at beregne eksponentiel vækst y(t) = a__ekt, hvor -en er værdien i starten, k er væksten eller forfaldet, t er tid og y(t) er populationsværdien på tidspunktet t.
Sådan beregnes eksponentielle vækstrater
Forestil dig, at en videnskabsmand studerer væksten af en ny arter af bakterier. Mens han kunne indtaste værdierne for startmængde, væksthastighed og -tid i en beregning af befolkningsvækst, besluttede han at beregne bakteriepopulationens væksthastighed manuelt.
Når man ser tilbage på sine grundige optegnelser, ser forskeren, at hans startpopulation var 50 bakterier. Fem timer senere målte han 550 bakterier.
Indsætter forskernes oplysninger i ligningen for eksponentiel vækst eller forfald, y(t) = a__ekt, han har:
550 = 50_ek_5
Den eneste ukendte tilbage i ligningen er keller hastigheden for eksponentiel vækst.
At begynde at løse for k, del først begge sider af ligningen med 50. Dette giver dig:
550/50 = (50_ek_5) / 50, som forenkler til:
11 = e_k_5
Derefter skal du tage den naturlige logaritme fra begge sider, der er noteret som ln (x). Dette giver dig:
ln (11) = ln (e_k_5)
Den naturlige logaritme er den inverse funktion af ex, så det "fortryder" effektivt ex funktion på højre side af ligningen, hvilket efterlader dig med:
ln (11) = _k_5
Derefter skal du dele begge sider med 5 for at isolere variablen, som giver dig:
k = ln (11) / 5
Du kender nu hastigheden for eksponentiel vækst for denne bakteriepopulation: k = ln (11) / 5. Hvis du vil foretage yderligere beregninger med denne population - for eksempel at sætte vækstraten i ligningen og estimere befolkningsstørrelsen til t = 10 timer - det er bedst at efterlade svaret i denne form. Men hvis du ikke udfører yderligere beregninger, kan du indtaste den værdi i en eksponentiel funktionskalkulator - eller din videnskabelige regnemaskine - for at få en estimeret værdi på 0.479579. Afhængigt af de nøjagtige parametre for dit eksperiment, kan du muligvis runde det til 0,48 / time for let at beregne eller notere.