Sådan beregnes Eigenvalues

Indhold

• Matrixer, Eigenværdier og Eigenvektorer: Hvad de betyder
• Sådan beregnes Eigenvalues
• Tips
• Finde Eigenvectors

Når du får en matrix i en matematik- eller fysikklasse, bliver du ofte bedt om at finde dens egenværdier. Hvis du ikke er sikker på, hvad det betyder, eller hvordan du gør det, er opgaven skræmmende, og den involverer en masse forvirrende terminologier, der gør tingene endnu værre. Processen med at beregne egenværdier er imidlertid ikke for udfordrende, hvis du er tilpas med at løse kvadratiske (eller polynomiske) ligninger, forudsat at du lærer det grundlæggende i matrixer, egenværdier og egenvektorer.

Matrixer, Eigenværdier og Eigenvektorer: Hvad de betyder

Matrixer er matriser af tal, hvor A står i navnet på en generisk matrix, som denne:

( 1 3 )

EN = ( 4 2 )

Tallene i hver position varierer, og der kan endda være algebraiske udtryk i deres sted. Dette er en 2 × 2-matrix, men de findes i forskellige størrelser og har ikke altid lige mange rækker og kolonner.

Håndtering af matrixer er forskellig fra at håndtere almindelige tal, og der er specifikke regler for at multiplicere, opdele, tilføje og trække dem fra hinanden. Udtrykkene "egenværdi" og "egenvector" bruges i matrixalgebra for at henvise til to karakteristiske mængder med hensyn til matrixen. Dette egenværdiproblem hjælper dig med at forstå, hvad udtrykket betyder:

EN ∙ v = λ ∙ v

EN er en generel matrix som før, v er en eller anden vektor, og λ er en karakteristisk værdi. Se på ligningen og bemærk, at når du multiplicerer matrixen med vektoren v, er effekten at gengive den samme vektor netop ganget med værdien λ. Dette er usædvanlig opførsel og tjener vektoren v og mængde λ specialnavne: egenvektoren og egenværdien. Dette er karakteristiske værdier for matrixen, fordi multiplikation af matrixen med egenvektoren efterlader vektoren uændret bortset fra multiplikation med en faktor af egenværdien.

Sådan beregnes Eigenvalues

Hvis du har egenværdiproblemet for matrixen i en eller anden form, er det let at finde egenværdien (fordi resultatet er en vektor, der er den samme som den originale, bortset fra ganget med en konstant faktor - egenværdien). Svaret findes ved at løse den karakteristiske ligning for matrixen:

det (EN – λjeg) = 0

Hvor jeg er identitetsmatrixen, som er tom bortset fra en række 1'er, der løber diagonalt ned langs matrixen. "Det" henviser til determinanten af ​​matrixen, som for en generel matrix:

(a b)

EN = (c d)

Er givet af

it EN = annonce –bc

Så den karakteristiske ligning betyder:

(a - λ b)

det (EN – λjeg) = (c d - λ) = (a - λ) (d - λ) - bc = 0

Lad os definere som et eksempel på matrix EN som:

( 0 1 )

EN = (−2 −3 )

Så det betyder:

det (EN – λjeg) = (0 – λ)(−3 – λ)− (1 ×−2)= 0

= −λ (−3 – λ) + 2

= λ² + 3 λ + 2 = 0

Løsningerne for λ er egenværdierne, og du løser dette som enhver kvadratisk ligning. Opløsningerne er λ = - 1 og λ = - 2.

Tips

Finde Eigenvectors

At finde egenvektorerne er en lignende proces. Brug af ligningen:

(EN – λ) ∙ v = 0

med hver af de egenværdier, du har fundet efter tur. Det betyder:

(a - λ b) (v₁ ) (a - λ) v₁ + b v₂ (0)

(EN – λ) ∙ v = (c d - λ) ∙ (v₂ ) = c v₁ + (d - λ) v₂ = (0)

Du kan løse dette ved at overveje hver række efter tur. Du har kun brug for forholdet på v₁ til v₂, fordi der vil være uendeligt mange mulige løsninger til v₁ og v₂.